Гіпотеза Рімана — математична гіпотеза про те, що дзета-функція Рімана (введена Ейлером 1737 року) набуває нульових значень тільки у від'ємних парних числах: (де ці прості нулі називають «тривіальними» нулями дзета-функції), і комплексних числах із дійсною частиною («нетривіальні» нулі дзета-функції Рімана). Гіпотеза Рімана стосується розташування цих нетривіальних нулів і стверджує, що:Отже, якщо гіпотеза істинна, всі нетривіальні нулі дзета-функції Рімана (число яких нескінченне) лежать на критичній прямій , що складається з комплексних чисел , де — дійсне число, а — уявна одиниця.
Сформулював гіпротезу Бернгард Ріман 1859 року.
Особливе значення гіпотези Рімана полягає в (імовірному) взаємозв'язку малюнка розподілу на критичній прямій нетривіальних нулів дзета-функції Рімана з асимптотикою розподілу простих чисел. Це питання має значення як для чистої математики (в теорії чисел), так і для прикладної математики (наприклад, для криптографії). Хоча не було знайдено ніякої закономірності у розподілі простих чисел серед натуральних, Ріман виявив, що кількість простих чисел, які не перевищують , — функція розподілу простих чисел — виражається через розподіл нетривіальних нулів дзета-функції. Гіпотеза стала основою подальшого доведення Адамаром і Валле-Пуссеном (1896) теореми про розподіл простих чисел.
Також було висунуто гіпотези про можливий зв'язок статистичних властивостей нетривіальних нулів дзета-функції Рімана (а отже й простих чисел) із явищами квантової фізики, зокрема з квантовим хаосом.
Гіпотезу Рімана часто розглядають як найважливішу нерозв'язану математичну проблему. Сама гіпотеза, разом із гіпотезою Ґольдбаха, становлять восьму проблему Гільберта — одну з небагатьох недоведених станом на 2023 рік проблем Гільберта. Також гіпотеза Рімана — єдина з проблем Гільберта, включена 2000 року до списку семи «Проблем тисячоліття», за розв'язання кожної з яких Математичний інститут Клея обіцяє нагороду в 1 млн доларів США. Попри безліч спроб (періодично публікованих) дослідження гіпотези, жодну з них так і не визнала наукова спільнота.
Існує багато математичних проблем, доведених у припущенні істинності гіпотези Рімана, так що її доведення чи спростування буде мати далекосяжні наслідки для теорії чисел, особливо в галузі розподілу простих чисел.
На 2004 рік чисельними методами підтверджено, що більше 1013 (десяти трильйонів) перших нетривіальних нулів дзета-функції Рімана задовольняють цю гіпотезу, що є добрим аргументом на користь її істинності, але не гарантує її.
Формулювання
Гіпотеза стверджує, що:
Функція визначена для всіх комплексних , і має нулі для від'ємних цілих . Із функціонального рівняння , і явного виразу при випливає, що всі інші нулі, які називаються «нетривіальними», розташовані у смузі симетрично відносно так званої «критичної лінії» .
Узагальнена гіпотеза Рімана Узагальнена гіпотеза Рімана — аналог гіпотези Рімана для узагальнень дзета-функцій, званих L-функціями Діріхле.
Еквівалентні формулювання Ріман виклав еквівалентне формулювання, яке свідчить, що всі корені ξ(s) дійні.
1901 року Гельге фон Кох показав, що гіпотеза Рімана еквівалентна такому твердженню про розподіл простих чисел:
при
Ще кілька еквівалентних формулювань:
Для всіх виконується нерівність Для всіх виконується нерівність где ψ(x) — , Для всіх виконується нерівність де — сума дільників числа , а — стала Ейлера-Маскероні. Нерівність порушується при n = 5040 і деяких менших значеннях (всього 27 винятків), але Гай Робін 1984 року показав, що вона виконується для всіх більших цілих чисел, тоді й лише тоді, коли виконується гіпотеза Рімана, і що послідовність винятків з умови теореми Робіна нескінченно довга, якщо гіпотеза Рімана хибна. Відомо також, що найменше з таких чисел-винятків n ≥ 5041 має бути . Для всіх виконується нерівність де — -не гармонічне число. Для будь-якого додатного виконується нерівність , де — функція Мертенса, див. також позначення O велике. Сильнішу гіпотезу спростовано 1985 року. Гіпотеза Рімана еквівалентна такій рівності: . Показано, що гіпотеза Рімана істинна тоді й лише тоді, коли інтегральне рівняння
не має нетривіальних розв'язків для .
Пов'язані проблеми
Дві гіпотези Гарді — Літтлвуда 1914 році Ґодфрі Гарольд Гарді довів, що функція має нескінченно багато дійсних нулів.
Нехай — кількість дійсних нулів, а — кількість нулів непарного порядку функції , що лежать на інтервалі .
Дві гіпотези Гарді і Літлвуда (про відстань між дійсними нулями) і про щільність нулів на інтервалах за досить великого , і якнайменшим значенням , де — як завгодно мале число), визначили два напрями в дослідженні дзета-функції Рімана:
Для будь-кого існує , таке що при і інтервал містить нуль непарного порядку функції . Для будь-кого існують такі і , що за і виконується нерівність .
Гіпотеза Сельберга 1942 року Атле Сельберг досліджував проблему Гарді — Літтлвуда 2 і довів, що для будь-якого існують і , такі, що для і виконується нерівність .
Сельберг висловив гіпотезу, що можна зменшити показник степеня для величини .
1984 році А. О. Карацуба довів, що за фіксованого з умовою , досить великому і , проміжок містить не менше ніж дійсних нулів дзета-функції Рімана . Тим самим він підтвердив гіпотезу Сельберга.
Оцінки Сельберга і Карацуби непокращувані за порядком зростання при .
1992 року Карацуба довів, що аналог гіпотези Сельберга справедливий для «майже всіх» проміжків , , де — як завгодно мале фиксоване додатне число. Метод, який розробив Карацуба, дає змогу дослідити нулі дзета-функції Рімана на «надкоротких» проміжках критичної прямої, тобто на проміжках , довжина яких зростає повільніше будь-якого, навіть як завгодно малого, степеня . Зокрема, він довів, що для будь-яких заданих чисел , з умовою майже всі проміжки при містяять не менше ніж нулів функції . Ця оцінка дуже близька до тієї, що випливає з гіпотези Рімана.
Історія 1859 року Бернгард Ріман опублікував працю . В рамках припущення про істинність гіпотези Ріман писав (працюючи, для зручності, переважно, із залежною ):
Це твердження Рімана про ксі-функцію еквівалентне подібному твердженню (що формулюється як гіпотеза Рімана) про залежну від неї дзета-функцію.
1896 року Адамар і Валле-Пуссен незалежно довели, що нулі дзета-функції не можуть лежати на прямих і .
1900 року Давид Гільберт включив гіпотезу Рімана до списку 23 нерозв'язаних проблем як частину восьмої проблеми, разом із гіпотезою Ґольдбаха.
1914 року Ґодфрі Гарольд Гарді довів, що на критичній лінії лежить нескінченно багато нулів, а пізніше Гарді і Літлвуд дали оцінку знизу частки нулів, що лежать на критичній лінії, яку потім покращували різні математики.
Деякі нетривіальні нулі розташовуються екстремально близько один від одного. Ця властивість відома як «» ().
Титчмарш і Ворос 1987 року довели, що дзета-функцію можна розкласти в добуток через її нетривіальні нулі (розклад Адамара).
2004 року група математиків університету Пердью під керівництвом запропонувала доведення гіпотези Рімана, яке, однак, виявилося помилковим.
Чергове повідомлення про доведення гіпотези Рімана надійшло 2018 року від математика Майкла Атії. Це відбулося під час конференції Heidelberg Laureate Forum в Гейдельберзькому університеті.
Можливий зв'язок із квантовою механікою
На початку XX століття угорський математик Дьордь Поя (у 1912—1914 роках), і, ймовірно (але не достовірно), Давид Гільберт, сформулювали гіпотезу Гільберта — Пої, яка вказує на можливий зв'язок між нетривіальними нулями дзета-функції Рімана і явищами квантової механікиТрушечкін А. С., Математика квантової механіки (2013). Відеодоповідь за темами: аксіоми квантової механіки, диво квантової інтерференції, квантова ймовірність, група Гейзенберга Вейля, інтеграли Фейнмана пзашляхахми квантова телепортація, квантовий хаос і дзета-функція Рімана. :
Поя припустив, що одним зі способів вивести гіпотезу Рімана є знаходження самоспряженого оператора, з існування якого випливатиме твердження про дійсні частини нетривіальних нулів дзета-функції Рімана. Деяку підтримку гіпотеза Гільберта — Пої знаходить у низці аналогів дзета-функції Рімана, нулі яких відповідають власним значенням деякого оператора: нулі дзета-функції многовиду над скінченним полем відповідають власним значенням елемента Фробеніуса на групі , нулі дзета-функції Сельберга є власними значеннями оператора Лапласа ріманової поверхні, а нулі відповідають власним векторам дії Галуа на групах класів ідеалів.
1973 року американський математик (після спілкування 1972 року з Фріменом Дайсоном) сформулював (не доведену, але підтверджувану (, 1987) масштабними чисельними розрахунками), за якою кореляційні функції ( для парних кореляцій) відповідно нормованих нулів дзета-функції Рімана повинні бути такими ж, як і у власних значень гауссової випадкової ермітової матриці.
звертає увагу на такі подібності при порівнянні поведінки нулів дзета-функції Рімана і власних значень гаусової випадкової ермітової матриці:
Ні нулі дзета-функції Рімана, ні власні значення гаусової випадкової ермітової матриці не схожі на випадково розкидані точки (відмінні від ідеально випадкового розкиду); Нулі дзета-функції та власні значення ермітової матриці поводяться подібно; Як для нулів дзета-функції, так і для власних значень ермітової матриці спостерігається ефект відштовхування.
Після прояснення ситуації з деякими невідповідностями між результатами Одлижка та прогнозами моделі гауссового унітарного ансамблю (ГУА) (малих інтервалів у Одлижка вийшло дещо більше, ніж у моделі ГУА), парна кореляційна гіпотеза Монтґомері стала (вперше в статті Ніколаса Каца і Пітера Сарнака, 1999) «законом Монтґомері — Одлижка»:
Сенс «нормування» в «законі Монтґомері — Одлижка» полягає у внесенні поправки у вигляді розтягування верхньої частини вибраного інтервалу множенням кожного числа на його логарифм (що необхідно для вирівнювання середньої відстані між нулями дзета-функції Рімана — через те, що нулі, в міру руху вгору вздовж критичної прямої робляться все ближчими один до одного.
Ключове питання, що виникає при подібних дослідженнях, Дербішир формулює так:1986 року (ще до виходу роботи Одлижка 1987 року) англійський фахівець у галузі математичної фізики Майкл Беррі у статті «Дзета-функція Рімана: модель квантового хаосу?» досліджував питання про існування оператора Рімана — оператора, власні значення якого точно збігаються з нетривіальними нулями дзета-функції Рімана. Беррі припустив, що подібний оператор Рімана (ріманів оператор) існує, і в рамках такого припущення поставив питання — яку динамічну систему такий ріманів оператор може представляти? Його версія полягала в тому, що такий ріманів оператор може моделювати хаотичну систему.
Беррі показав, що в разі існування риманів оператор повинен моделювати одну з так званих квазікласичних хаотичних систем (де під квазікласичною розуміється система, в якій класична хаотична система пов'язується з подібними у квантовому світі через взяття границі в рівняннях квантової механіки, де квантовий множник — стала Планка — прямує до нуля), де власні значення такого ріманового оператора — уявні частини нетривіальних нулів дзета-функції Рімана — є рівнями енергії цієї квазікласичної хаотичної системи. Де примітно те, що періодичні орбіти в аналогічній класичній хаотичній системі відповідали б простим числам (їх логарифмам).
Згідно з Беррі, в такій квазікласичній хаотичній системі була б відсутня властивість симетрії відносно обернення часу (що є властивістю хаотичних систем, модельованих операторами типу операторів ГУА, на відміну від хаотичних систем, що допускають обернення часу, та моделюються операторами типу операторів ГОА — гауссового ортогонального ансамбля.