*-алгебра (алгебра з інволюцією, алгебра з операцією спряження) — асоціативна алгебра з інволюцією, що має властивості подібні до комплексного спряження.
*-кільце *-кільце — кільце з унарною операцією * яка є
антиавтоморфізмом, тобто
та інволюцією, тобто
Таке кільце ще називається — кільце з інволюцією.
*-алгебра *-алгебра A це *-кільце, що є асоціативною алгеброю над іншим *-кільцем R, з узгодженням операції * в
Базове *-кільце це, зазвичай, комплексні числа (де * — комплексне спряження).
Тоді * є спряжено-лінійним, тобто .
*-гомоморфізм є що відображає інволюцію в A на інволюцію в B, тобто:
Елементи для яких називаються само-спряженими, симетричними або ермітовими. Елементи для яких називаються косо-спряженими, анти-симетричними або анти-ермітовими. Можна визначити сесквілінійну форму за допомогою операції * у виді .
C*-алгебра C*-алгебра — Банахова *-алгебра, для якої виконується C*–властивість:
Обидві умови є еквівалентними.
Також вони еквівалентні В*–властивості
Приклади Найвідомішим прикладом є комплексні числа з операцією спряження. За допомогою процедури Кейлі-Діксона утворюються алгебри з операцією спряження: комплексні числа, кватерніони, октоніони. Квадратні матриці з комплексними елементами з операцією ермітового спряження. Ермітове спряження лінійного оператора в Гільбертовому просторі.
Властивості Багато властивостей спряження для комплексних чисел зберігаються в *-алгебрах: Якщо для 2 в алгебрі існує обернений елемент, тоді та є ортогональними ідемпотентами. Якщо їх вибрати в базис, то алгебра як векторний простір розкладається в пряму суму підпросторів з симетричних та анти-симетричних (ермітових та анти-ермітових) елементів. Ермітові елементи *-алгебри утворюють алгебру Йордана. Анти-ермітові елементи *-алгебри утворюють алгебру Лі.
Див. також Нормована алгебра з діленням
Джерела