-адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої -адичної норми. -адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.
Елементарне означення Нехай — деяке просте число. Тоді, як відомо кожне ціле число може бути записано:
де числа належать до множини . Загальновідомим є розширення даних чисел до множини дійсних чисел, кожне з яких може бути записане так:
де — деяке ціле число.
-адичні числа натомість можуть бути записані у вигляді:
де — деяке ціле число.
Наприклад, взявши , ми матимемо: , .
Обчислення відбуваються за звичайними правилами для чисел з основою . Числа для яких для називаються -адичними цілими числами.
Аналітична побудова
p-адична норма Нехай маємо деяке — ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого :
Далі для визначимо:
Еквівалентно, якщо , де , не діляться на то . Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності. Визначимо -адичну норму для таким чином:
Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки: тоді й лише тоді, коли Справді, — єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине, для якого виконується дана рівність.
Справді, нехай , а , де жодне з чисел , , , не ділиться на p. Тоді і , не діляться на . За означеннями маємо: , , , що й доводить наше твердження.
Нехай знову , а , де жодне з чисел , , , не ділиться на . Нехай також . Тоді . Тож очевидно ординал не може бути меншим . Окрім того у випадку коли строго менше ординал є рівним адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не діляться на .
Таким чином , є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел. Наприклад для числа
, для інших простих чисел.
Фундаментальні послідовності і нуль-послідовності Послідовність називається збіжною до за нормою , якщо . Якщо то така послідовність називається нуль-послідовністю.
Послідовність називається фундаментальною, якщо: таке що . Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.
Побудова чисел Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності: фундаментальні послідовності і є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовністю. Позначатимемо клас еквівалентності послідовності через . На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції: , . Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю. Визначимо також загальну -адичну норму:
Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем -адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа x для яких називаються p-адичними цілими числами.
Властивості Кожне p-адичне число можна єдиним способом подати у вигляді: . Цим дані числа відрізняються від дійсних, для яких може бути кілька варіантів запису через суму степенів. Наприклад:
Сума -адичних чисел збіжна тоді й лише тоді коли є нуль-послідовністю. Топологічний простір -адичних цілих чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора, а простір -адичних чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора з вирізаною точкою.
Література