Ланцюго́вий дріб (або неперервний дріб) — це математичний вираз виду
де a0 є ціле число, а всі інші an є натуральними числами. Узагальненими ланцюговими дробами називають вирази виду:
Будь-яке дійсне число може бути представлене ланцюговим дробом. Число представляється скінченним ланцюговим дробом тоді й лише тоді, коли воно раціональне.
Розклад у ланцюговий дріб Будь-яке дійсне число можна подати ланцюговим дробом , де
де позначає цілу частину числа .
Для раціонального числа цей розклад закінчиться після одержання нульового для деякого n. У цьому випадку представляється скінченним ланцюговим дробом .
Для ірраціонального всі величини будуть ненульовими, і процес розкладу можна продовжувати нескінченно.
Приклад обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245 подано в таблиці.
Обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245STOP ланцюговий дріб для числа 3,245 рівний [3; 4, 12, 4]
Приклади розкладу
якщо, проте, використовувати узагальнені ланцюгові дроби то отримаємо певні закономірності:
Якщо n ціле число більше одиниці,
Якщо також n парне:
при n = 1:
якщо n додатне число; також
якщо n > 1,
Властивості
Будь-яке раціональне число може бути представлене в виді скінченного ланцюгового дробу двома способами, більш довгий з яких завжди закінчується одиницею, а коротший відрізняється від нього тим, що останньої одиниці немає, а елемент перед одиницею на 1 більший. Наприклад:
Теорема Лагранжа: Число можна подати у вигляді нескінченного періодичного лінійного дробу тоді й лише тоді коли воно є ірраціональним розв'язком квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами. Наприклад:
золотий поділ Для інших — не квадратичних — алгебраїчних чисел характер розкладу не відомий. Для майже всіх дійсних чисел x середнє геометричне коефіцієнтів розкладу числа в ланцюговий дріб рівний константі Хінчіна (K ≈ 2,6854520010…)
n-м наближеним дробом (або підхідним дробом) ланцюгового дробу , називається скінченний ланцюговий дріб , значення якого можна подати .
Парні наближені дроби утворюють зростаючу послідовність, а непарні — спадну. Обидві послідовності збігаються до x. Виконуються наступні рекурентні співвідношення:
Звідси випливає наступне твердження: наближений дріб є найкращим наближенням для серед всіх дробів, знаменник яких не перевищує ;
Застосування при розробці сонячного календаря необхідно знайти раціональне наближення для числа 365,2421988… За допомогою ланцюгових дробів одержується послідовність:
Перший з цих дробів є основою юліанського календаря. Доведення ірраціональності чисел. Наприклад, за допомогою ланцюгових дробів доведена ірраціональність дзета-функції Рімана числа пі. Алгоритми факторизації SQUFOF и CFRAC. Характеристика ортогональних многочленів Характеристика стабільних многочленів Алгоритм Ланцоша використовує ланцюгові дроби для обчислення власних значень великих розріджених матриць.
Див. також Обмежені неповні частки Періодичний десятковий дріб
Примітки
Джерела
Claude Brezinski. History of continued fractions and Padé approximants . Berlin: Springer-Verlag; 1991. — VIII + 551 pages. / Chapter 4 . Golden Age. Pages 97-140. G. Blanch. Numerical Evaluation of Continued Fractions / SIAM Review, Vol. 6, No. 4, Oct. 1964, pp. 383—421 J. Widž. From the History of Continued Fractions // WDS'09 Proceedings of Contributed Papers, Part I, 176—181, 2009