Фактор-група — в теорії груп, група класів еквівалентності відносно деякого відношення еквівалентності. Тобто, фактор-множина, що має властивості групи.
Визначення
Нехай — група, і — її нормальна підгрупа, тобто для довільного його класи суміжності збігаються:
Тоді на класах суміжності в можна ввести множення:
Легко перевірити, що це множення не залежить від вибору елементів у класах суміжності, тобто якщо і , то . Воно визначає структуру групи на множині класів суміжності, а одержана група називається фактор-групою по .
Фактор-група позначається .
Властивості
Теорема про гомоморфізм: Для довільного гомоморфізму , тобто фактор-група за ядром ізоморфна її образу в . Відображення задає природний гомоморфізм . Порядок рівний індексу підгрупи . У випадку скінченної групи він рівний . Якщо абелева, нільпотентна, циклічна або скінченнопороджена, то і буде мати такі ж властивості. ізоморфна тривіальній групі (), ізоморфна .
Приклади Нехай , тоді ізоморфна . Нехай група невироджених верхньотрикутних матриць, група верхніх унітрикутних матриць, тоді ізоморфна групі діагональних матриць.
Див. також Теорема про гомоморфізми Теореми про ізоморфізми Фактор-кільце Фактор-простір
Примітки
Література Українською
Іншими мовами