У математиці p-групою, де p — просте число, називається група в якій порядок кожного елемента є степенем числа p, тобто для кожного елемента g існує натуральне число n, що gpn=1 і для всіх додатних m < pn елемент gm не дорівнює нейтральному. Якщо група скінченна, то її порядок тоді теж рівний деякому степеню числа p (оскільки згідно теорем Силова кожна p-підгрупа, зокрема і сама група має міститися в деякій підгрупі Силова і тому група сама є своєю підгрупою Силова, тобто її порядок є степенем числа p). В основному інтерес становлять саме скінченні p-групи.
Центр p-групи Однією з найважливіших властивостей скінченних p-груп є така теорема: Центр нетривіальної скінченної p-групи є нетривіальною групою.
Доведення Візьмемо деяку p-групу G () і задамо дію групи G на множині G:
Спершу доведемо, що орбіта довільного елемента складається лише з одного цього елемента тоді і лише тоді коли цей елемент належить до центру групи:
Візьмемо довільний . Тоді:
Далі доведемо, що, якщо деяка орбіта має більш ніж один елемент, то її порядок ділиться на p:
Припустимо, що для маємо . Оскільки стабілізатор є підгрупою G, то, згідно з теоремою Лагранжа, кількість його елементів ділить кількість елементів G, отже . Далі:
G є об'єднанням орбіт:
Звідси отримуємо:
де si — кількість орбіт, що містять pai елементів і всі ai більші від нуля. З останньої формули одержуємо, що |Z(G)| ділиться на p.
Властивості Якщо є нормальною підгрупою в , то . Ця властивість одержується з теореми про центр, якщо врахувати, що будь-яка підгрупа p-групи сама є p-групою і що нормальна підгрупа інваріантна до спряжень. Тому в попередньому доведенні можна взяти H замість P і замість Z(P). Усі p-групи є нільпотентними.
Скінченні p-групи невеликих порядків
Число різних -групп порядку
Число неізоморфних груп порядку рівне 1: група . Число неізоморфних груп порядку рівне 2: групи і . Число неізоморфних груп порядку рівне 5, з них три абелеві: , , і дві неабелеві: при — і ; при p = 2 — , . Число неізоморфних груп порядку рівне 15 при , число груп порядку рівне 14. Число неізоморфних груп порядку рівне при . Число груп порядку рівне 51, число груп порядку рівне 67. Число неізоморфних груп порядку рівне при . Число груп порядку рівне 267, число груп порядку рівне 504. Число неізоморфних груп порядку рівне при . Число груп порядку рівне 2328, число груп порядк рівне 9310, число груп порядку рівне 34297.
p-групи порядку pn, асимптотика При число неізоморфних груп порядку асимптотично рівне .
Див. також Теореми Силова
Джерела
Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — , 1962. Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.