Алгебра Кліфорда — це унітарна асоціативна алгебра, що містись і утворена за допомогою векторного простору V з квадратичною формою Q. Її можна розглядати як одне з можливих узагальнень комплексних чисел та кватерніонів.

Теорія алгебр Кліфорда тісно пов'язана з теорією квадратичних форм і ортогональних перетворень. Алгебра Кліффорда має важливі додатки в різних областях, в тому числі геометрії та теоретичної фізики. Вона названа на честь англійського математика Вільяма Кліфорда.

Визначення Якщо — векторний простір над полем , та — квадратична форма на . Алгебра Кліфорда (асоційована із парою ) - це унітальна -алгебра із одиницею де - тензорна алгебра простору та - двохсторонній ідеал, породжений елементами виду для усіх Позначається або просто

Композиція мономорфізму та натуральної проекції задає відображення Відтак, алгебра породжується одиницею та векторним простором ; для усіх при цьому справджується рівність яку можна переписати у вигляді де є поляризацією квадратичної форми

Лінійне відображення векторного простору в унітальну асоційовану -алгебру для якого справджуюється рівність для усіх єдиним чином продовжується до гомоморфізму -алгебр Алгебра є єдиною асоціативною -алгеброю, яка має дану властивість.

Квантування зовнішньої алгебри Якщо q = 0, тоді алгебра Кліфорда C(V,q) є зовнішньою алгеброю Λ(V). Для ненульових q існує канонічний лінійний ізоморфізм між Λ(V) та Cℓ(V,q). Що є ізоморфізмом векторних просторів, але з не однаковими операціями множення. Множення Кліфорда є багатшим за зовнішній добуток, оскільки враховує інформацію з q.

Універсальна властивість і побудова Алгебра Кліфорда Cℓ(V,Q) — унітарна асоціативна алгебра над K з лінійним відображенням i : V → Cℓ(V,Q) що задовольняє умові i(v)2 = Q(v)1 для всіх v ∈ V, визначена наступною універсальною властивістю: якщо задана асоціативна алгебра A над K та лінійне відображення j : V → A таке що j(v)2 = Q(v)1 для всіх v ∈ V (де 1 означає одиницю в A), тоді існує єдиний f : Cℓ(V,Q) → A такий, що наступна діаграма є є комутативною (тобто, f o i = j):

Алгебра Кліфорда, як описано вище, завжди існує й може бути побудована так: у найзагальнішій алгебрі, що містить V, а саме в тензорній алгебрі T(V), виберемо фактор-кільце двосторонніх ідеалів IQ, утворене всіма елементами виду

Тобто Cℓ(V,Q) = T(V)/IQ.

Очевидно, що Cℓ(V,Q) містить V і задовольняє універсальній властивості, отже, є єдиною з точністю до ізоморфізму.

Базис і розмірність Якщо {e1,…,en} є базисом в V, тоді набір добутків

є базисом в Cℓ(V,Q). Порожній добуток (k = 0) визначимо як одиничний елемент. Для кожного значення k є число комбінацій з n по k базисних елементів, тому загальна розмірність алгебри Кліфорда

Виберемо тільки такі базиси, які ортогональні відповідно до Q:

тобто:

Якщо характеристика поля не рівна 2, тоді ортогональний базис для V існує, і можна поширити квадратичну форму Q на Cℓ(V,Q), вимагаючи, щоб елементи були ортогональними, якщо відповідні {ei} є ортогональними. Також визначимо:

Тобто, ортогональний базис V розширюється до ортогонального базиса Cℓ(V,Q). Квадратична форма визначена вище, насправді, буде незалежною від вибору базиса.

Приклади Найважливішими алгебрами Кліфорда є ті, що побудовані на дійсних чи комплексних векторних просторах з невиродженими квадратичними формами. .

Невироджена квадратична форма дійсного векторного простору приводиться до діагональної форми:

де n = p + q є розмірністю простору. Пара чисел (p, q) називається сигнатурою квадратичної форми. Такі дійсні векторні простори позначають Rp,q. Алгебра Кліфорда породжена Rp,q позначається Cℓp,q(R). Символ Cℓn(R) означає абоCℓn,0(R) абоCℓ0,n(R).

Ортонормований базис {ei} в Rp,q складається з p векторів з нормою +1 та q векторів з нормою −1. Алгебра Cℓp,q(R) тому матиме p векторів з квадратами +1 та q векторів з квадратами −1.

Зокрема Cℓ0,0(R) природно ізоморфна до R, оскільки немає ненульових векторів. Cℓ0,1(R) двовимірна алгебра утворена єдиним вектором e1 з квадратом −1, і тому ізоморфна до C, поля комплексних чисел. Алгебра Cℓ0,2(R) чотиривимірна алгебра утворена векторами {1, e1, e2, e1e2}. Останні три елементи мають квадрат −1 і є антикомутативними, тобто алгебра ізоморфна до кватерніонів H. Наступна алгебра Cℓ0,3(R) є восьми-вимірною алгеброю, ізоморфною до прямої суми H ⊕ H, яку називають спліт-бікватерніонами.

Невироджена квадратична форма векторного векторного простору приводиться до діагональної форми:

де n = dim V, тобто є одна алгебра Кліфорда кожної розмірності. Позначається як Cℓn(C) і може бути отримана «комплексифікацією» алгебри Cℓp,q(R) де n = p + q: . де Q — дійсна квадратична форма сигнатури (p,q). Комплексифікація не залежить від сигнатури.

Перші декілька прикладів:Cl0(C) = CCl1(C) = C ⊕ CCl2(C) = M2(C) де M2(C) — алгебра матриць 2×2 над C.

Довільна алгебра Cℓp,q(R) та C''ℓn(C) є ізоморфною матричній алгебрі в R, C, чи H або прямій сумі двох таких алгебр.

Див. також Розшарування Кліфорда

Джерела