В евклідовій геометрії відстань (або перпендикулярна відстань) від точки до прямої — найкоротша відстань від нерухомої точки до будь-якої точки на нерухомій нескінченній прямій. Довжина відрізка, який з'єднує точку з прямою та перпендикулярний до цієї прямої. Формулу для обчислення відстані можна вивести та виразити кількома способами.
Знати найкоротшу відстань від точки до прямої може бути корисно в різних ситуаціях — наприклад, для знаходження найкоротшої відстані до дороги, кількісної оцінки розсіювання на графіку тощо. У регресії Демінга, типі лінійної апроксимації за допомогою кривої, якщо залежні та незалежні змінні мають однакову дисперсію, це призводить до ортогональної регресії, в якій ступінь недосконалості апроксимації вимірюють для кожної точки даних як перпендикулярну відстань від точки до лінії регресії.
Декартові координати
Пряма, що проходить через дві точки У випадку прямої на площині, заданої рівнянням , де , та — дійсні сталі, причому та не дорівнюють нулю, відстань від прямої до точки дорівнює
Точка на цій прямій, розташована найближче до , має координати:
Горизонтальні та вертикальні прямі
У загальному рівнянні прямої, , та не можуть обидва дорівнювати нулю, якщо також не дорівнює нулю (в цьому випадку рівняння не визначає пряму). Якщо та , пряма горизонтальна і має рівняння . Відповідно до формули, відстань від до цієї прямої вимірюється вздовж вертикального відрізка довжиною . Аналогічно, для вертикальних прямих () відстань між тією ж точкою та прямою, виміряна вздовж горизонтального відрізка, дорівнює .
Пряма, задана рівнянням Якщо пряма проходить через дві точки та , то відстань від прямої дорівнює:
Знаменник цього виразу — це відстань між та . Чисельник дорівнює подвоєній площі трикутника з вершинами в трьох точках , та . Вираз еквівалентний , який можна отримати з формули площі трикутника: , де — довжина сторони, а — висота, опущена з протилежної вершини.
Пряма, задана точкою та кутом Якщо пряма проходить через точку під кутом , то відстань від деякої точки до прямої дорівнює
Алгебричне доведення Це доведення справедливе лише тоді, коли пряма не є ні вертикальною, ні горизонтальною, тобто, ні , ні у рівнянні прямої не дорівнюють нулю.
Пряма з рівнянням має кутовий коефіцієнт , тому будь-яка пряма, перпендикулярна до неї, матиме кутовий коефіцієнт (від'ємна обернена величина). Нехай — точка перетину прямої та перпендикулярної до неї прямої, яка проходить через точку . Пряма, що проходить через ці дві точки, перпендикулярна до початкової прямої, тому
Отже, і, піднісши це рівняння до квадрата, отримуємо:
Також
,
зі згаданого вище квадратного рівняння. Але в нас також є,
оскільки лежить на . Отже,
і для довжини відрізка прямої, визначеного цими двома точками, маємо
Геометричне доведення
Це доведення справедливе лише тоді, коли пряма не є горизонтальною чи вертикальною. do not mention this restriction in their article
Опустимо перпендикуляр із точки з координатами на пряму з рівнянням . Нехай — основа перпендикуляра. Проведемо вертикальну пряму через точку та позначимо точку її перетину із заданою прямою . Починаючи з будь-якої точки на прямій накресліть прямокутний трикутник , катети якого — горизонтальний та вертикальний відрізки, гіпотенуза лежить на заданій прямій, а довжина горизонтального катета (див. малюнок). Вертикальний катет матиме довжину , оскільки кутовий коефіцієнт прямої .
та подібні, оскільки вони обидва прямокутні, а , оскільки вони є відповідними кутами при січній до паралельних прямих та (обидві прямі вертикальні). Відповідні сторони цих трикутників пропорційні, тому:
Якщо точка має координати , то , а відстань від до прямої дорівнює:
Оскільки лежить на прямій, ми можемо знайти значення ,
і нарешті отримати:
Варінтом цього доведення є розміщення у точці та обчислення площі трикутника двома способами, щоб отримати це де — висота , проведена до гіпотенеузи з . Формулу відстані можна потім використовувати для виражання , , та через координати та коефіцієнти рівняння прямої, щоб отримати зазначену формулу.
Доведення за проєкцією вектора
Нехай — точка з координатами , а задана пряма має рівняння . Також, нехай — будь-яка точка на цій прямій, а — вектор , що починається в точці . Вектор перпендикулярний до прямої, а відстань від точки до прямої дорівнює довжині ортогональної проекції на . Довжину цієї проєкції визначають за формулою:
Тепер,
тому і
отже
Оскільки — точка на прямій, , то
Інша формула Можна сформулювати інший вираз для знаходження найкоротшої відстані від точки до прямої. У цьому випадку теж потрібно, щоб лінія не була вертикальною чи горизонтальною.
Нехай точка має координати . Рівняння прямої — . Рівняння нормалі до прямої, яка проходить через точку P, — .
Точка перетину цих прямих є найближчою точкою на початковій прямій до точки P. Отже:
Розв'яжемо це рівняння відносно :
Координату точки перетину можна знайти, підставивши цей вираз для у рівняння початкової прямої,
Скориставшись формулою для знаходження відстані між двома точками, , приходимо до висновку, що формула для найкоротшої відстані між прямою і точкою така:
Зважаючи на те, що для прямої та , після алгебричних перетворень отримуємо стандартний вираз.
Векторне формулювання
Рівняння прямої можна записати у векторній формі:
Тут — положення точки на прямій, а — одиничний вектор у напрямку прямої. Тоді, коли скаляр змінюється, задає геометричне місце точок прямої.
Відстань від довільної точки до цієї прямої визначається як
Цю формулу можна вивести так: — вектор від до точки на прямій. Тоді — це довжина проєкції на пряму, тому
— вектор, який є проекцією на пряму. Таким чином
є складовою перпендикулярною до прямої. Відстань від точки до прямої тоді є просто нормою цього вектора. Ця загальніша формула не обмежується двома вимірами.
Інше векторне формулювання Якщо пряма проходить через точку та має вектор напрямку , відстань між точкою та прямою дорівнює
де — векторний добуток векторів і , — векторна норма .
Зауважте, що векторні добутки існують лише у розмірностях 3 та 7 і тривіально в розмірностях 0 та 1 (де векторний добуток дорівнює константі 0).
Див. також Відстань від точки до площини Відстань між двома точками
Примітки
Література