Фу́нкція (відобра́ження, перетво́рення, опера́тор, зале́жник) в математиці — це правило, яке кожному елементу з першої множини — області визначення ставить у відповідність елемент з іншої множини — області значень. Часто цю другу множину називають цільовою множиною чи образом функції чи відображення.
Відображення , яке ставить у відповідність кожному елементові множини єдиний елемент множини позначається тобто відображає в .
Функції широко використовуються в науці, техніці та більшості галузей математики. Кажуть, що функції є «головними об'єктами дослідження» в більшості галузей математики.
Поняття функції зазнало значних змін протягом століть — від його неформальних витоків у стародавній математиці до формалізації у XIX столітті.
Історія Хоча математичне поняття функції малося на увазі вже в тригонометричних таблицях, вперше ідею функціональної залежності описав Шараф ад-Дін ат-Тусі (1135—1213). Він зазначив, що наявність розв'язку кубічного рівняння виду залежить від того, чи досягає вираз зліва значення . Для визначення цього необхідно було знайти максимум функції, в чому він досяг успіху.
У деякому більш вузькому значенні термін «функція» був використаний Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем (1673). У свою чергу, Йоганн Бернуллі в листі до Лейбніца надав цьому терміну сенс, ближчий до сучасного.Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. — М., Просвещение, 1994. — ISBN 5-09-006088-6. — C. 86-87
Спочатку поняття функції не відрізнялося від поняття аналітичного уявлення. Згодом з'явилося визначення функції, дане Ейлером (1751), потім — у Лакруа (1806), — вже практично в сучасному вигляді. Нарешті, загальне визначення функції (у сучасній формі, але тільки для числових функцій) було дано Лобачевським (1834) і Діріхле (1837).
Наприкінці ХІХ століття поняття функції переросло рамки числових систем. Спочатку поняття функції було поширене на векторні функції, невдовзі Фреге ввів логічні функції (1879), а після появи теорії множин Дедекінд (1887) та Пеано (1911) сформулювали сучасне універсальне визначення.Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. — М., Просвещение, 1994. — ISBN 5-09-006088-6. — C. 86-87
Інтуїтивне означення
Інтуїтивно, функція — це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню. Наприклад, в кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили — біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними — улюблені кольори. Або, наприклад, час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті — як вихідне значення.
«Правило», яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення. Вхідне значення часто називають аргументом функції, вихідне — значенням функції (та/або параметром).
Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа, і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу. Прикладом такої функції може бути квадратична залежність: f(x) = x2, яка зіставляє кожному аргументу його квадрат.
В загальнішому випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.
Втім, в сучасній математиці і природничих науках розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визначення) та B (яку іноді називають областю значень, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати з допомогою відповідностей між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.
Відсутність формального означення Не існує формального означення функції. Поняття функція належить до базових понять математики, і його можна лише спробувати назвати іншим синонімом, наприклад відображення, відповідність, закон чи підмножина декартового добутку.
Функцією (відображенням, трансформацією) f множини X в множину Y (позначається f: X → Y) називається така відповідність між множинами X та Y, яка задовольняє наступним умовам: Відповідність f всюди визначена, тобто, для будь-якого x з X існує такий y з Y, що x f y (y є образом x для функції f), тобто, для будь-якого x з X існує хоча б один образ y з Y. Відповідність f є відповідністю багато-до-одного, або функціональною, тобто, якщо x f y та x f z, то y = z, тобто, y може бути образом зразу декількох елементів з X, але один елемент x не може породжувати більше одного образа з Y.
Елемент y з Y, який відповідає елементові x з X позначається як f(x).
Також можна сказати, що відображенням (функцією) з X в Y є така відповідність f⊆A×B, в якій кожному елементові a∈Pr1f відповідає тільки один елемент з Pr2f (тут × — Декартів добуток множин, Pr1f та Pr2f — відповідні проєкції відображення).
Множина всіх функцій f: X → Y позначається як YX. При цьому потужність множини |YX| = |Y||X|.
Відповідність між X та Y, яка задовольняє тільки умові (1) називається багатозначною функцією. Будь-яка функція є багатозначною функцією, але не кожна багатозначна функція є функцією. Відповідність, яка задовольняє тільки умові (2) є часткова функція. Будь-яка функція є частковою, але не кожна часткова функція є функцією. В цій енциклопедії функцією є така відповідність між множинами, яка задовольняє одночасно умовам (1) та (2), якщо інше не вказується додатково.
Функції багатьох змінних, де y=f(x1, … , xn), тобто де y одночасно залежить від n змінних, можна визначити як відображення виду f: Xn → Y, де Xn — n-степень множини X (див. Декартів добуток множин).
Приклади: Елемент 3 з X відповідає одночасно двом елементам b та c з Y, тобто, f(3) = b, f(3)=c і b≠c. Така відповідність є багатозначною функцією, але не функцією.
<td> Елемент 1 з X не відповідає жодному елементу з Y. Така відповідність є частковою функцією, але не функцією.<td>
Така відповідність є всюди визначеною та функціональною, тобто функцією з X в Y. Безпосередньо цю функцію можна задати множиною: f = {(1, a), (2, b), (3, b)} або умовним переліком:
Області значень та визначення
X, множина вхідних значень, також називається областю визначення f, а Y, множина усіх можливих результатів, інколи називається областю значень, але більш коректно називати областю значень множину усіх тих елементів Y, для яких існують відповідні елементи з X. Тому в загальному випадку область значень є лише підмножиною Y.
Тотожною функцією (тотожним відображенням) називають функцію, область значень і визначення якої збігаються.
Ін'єктивні, сюр'єктивні та бієктивні функції Існують спеціальні назви для деяких важливих різновидів функцій: Ін'єктивна функція — функція, в якій різним значенням аргумента відповідають різні результати, тобто, для двох елементів x, y з Y виконується: f(x) = f(y) тоді й тільки тоді, якщо x = y. Сюр'єктивна функція — функція f:X→Y, область значень якої збігається з множиною Y, тобто, для кожного y з Y існує x з X такий, що f(x) = y. Бієктивна функція — функція, яка є одночасно сюр'єктивною та ін'єктивною, тобто встановлює взаємно однозначну відповідність між елементами множин X та Y.
Образ та прообраз
Образом елемента x∈X для відображення (функції) f є результат відображення (функції) f(x).
Образ підмножини A⊂X для f є така підмножина Y, яка відповідає умові: f(A) = {f(x) | x ∈ A}
Слід зазначити, що область значень f збігається з образом області визначення f(X).
Прообраз відображення (або обернений образ) множини B ⊂ Y для f є підмножиною множини X, визначеною як f −1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈B}
Графік функції Графік функції f є множина всіх впорядкованих пар (x, f(x)), для всіх x з області визначення X.
Композиція функцій З функцій f: X → Y та g: Y → Z можна побудувати композицію функцій таким чином: спершу застосувавши f до аргумента x з X, а потім застосувавши g до результату. Така композиція функцій позначається g o f: X → Z, тобто (g o f)(x) = g(f(x)) для всіх x з X.
Тотожна функція, вкладення, продовження та звуження Відображення (функція) E: X → X, таке, що E(x) = x для будь-якого x з X, має назву тотожного відображення, про яке говорять, що воно відображує X в себе.
Відображення I: X → Y, яке відображує елемент x з X в такий же елемент, але в Y, називається вкладенням
Відображення g': X → Y називається звуженням (обмеженням) відображення g: X' → Y' , якщо X та Y є підмножинами X' та Y' відповідно. Відображення g, в свою чергу, називається продовженням відображення g'.
Обернена функція Деякі функції мають відповідні обернені функції. Нехай f: X → Y та g: Y → X деякі функції. Якщо композиція функцій f o g = EY, де EY: Y→Y — тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого до g, а g — правого оберненого до f. Якщо справедливо і f o g = EY і g o f = EX, то g має назву оберненого відображення (функції) до f і позначається як f−1.
Функціональний простір
У математичному аналізі, а точніше у функціональному аналізі, функціональний простір — це сукупність скалярних або векторноних функцій, що мають певну властивість і утворюють топологічний векторний простір. Наприклад, дійсні гладкі функції з компактною областю визначення (тобто рівні нулю за межами деякої компактої множини) утворюють функціональний простір, який лежить в основі теорії розподілів.
Функціональні простори відіграють фундаментальну роль у сучасному математичному аналізі, оскільки дають змогу використовувати їхні алгебраїчні та топологічні властивості для вивчення властивостей функцій. Наприклад, усі теореми про існування та єдиність розв'язків звичайних або диференціальних рівнянь у частинних похідних є результатом дослідження функціональних просторів.
Див. також
Алгебраїчна функція Аналітична функція Апаратна функція Багатозначна функція Вектор-функція Випадкова функція Виробнича функція Гамма-функція Гармонічна функція Степенева функція Трансцендентна функція
Дельта-функція Дробово-лінійна функція Експоненційна функція Лінійна функція Логарифмічна функція Математична функція Монотонна функція Непарна функція Неперервна функція Узагальнена функція Функція розподілу ймовірностей
Обернена функція Однозначна функція Парна функція Періодична функція Пропозиційна функція Раціональна функція Розривна функція Складена функція Хвильова функція Ціла функція Числова функція Голоморфна функція Оператор (математика)
Примітки
Джерела
The Wolfram Functions Site gives formulae and visualizations of many mathematical functions. FIZMA.neT — Математика онлайн