Гомотопія (з "сам, подібний" та "місце") — в математиці поняття алгебричної топології, що формалізує поняття неперервної деформації одного об'єкта в інший. За допомогою гомотопії визначаються гомотопічні групи, що є важливими інваріантами в алгебричній топології.
Формальне визначення
Нехай та — топологічні простори і f та g — два неперервних відображення з простору в простір . Тоді відображення f називається гомотопним відображенню g, якщо існує неперервне відображення таке, що і для x ∈ X. Дане неперервне відображення називається гомотопією.
Пов'язані визначення
Гомотопічний інваріант — це характеристика простору, яка зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів. Тобто, якщо два простори гомотопно еквіваленті, то вони мають однакову характеристику. Наприклад: зв'язність, фундаментальна група, ейлерова характеристика. Якщо на деякій підмножині для всіх при , то називається гомотопією відносно , а і гомотопними відносно . Ізотопія — гомотопія топологічного простору по топологічному простору тобто , в якій при будь-кому відображення є гомеоморфізмом на .
Гомотопічна еквівалентність
Гомотопічна еквівалентність топологічних просторів і — пара неперервних відображень і така, що і , тут позначає гомотопічну еквівалентність відображень. В цьому випадку говорять, що і гомотопно еквівалентні, або з мають один гомотопний тип.
Гомотопічна група Гомотопічна група простору є групою гомотопічних класів неперервних відображень переводячи відзначену точку сфери у точку із декотрою операцією. Сферу можна неперервно й бієктивно відобразити у де Таким чином, гомотопічну групу можна визначити як групу гомотопічних класів неперервних відображень які переводять границю у відзначену точку Операцію таких відображень можна визначити наступним чином:
Властивості
Гомотопія задає відношення еквівалентності на множині неперервних відображень Рефлексивність. Якщо — деяке неперервне відображення, тоді функція визначена буде гомотопією між f і f. Симетричність. Нехай відображення гомотопне відображенню і — відповідна гомотопія. Тоді g є гомотопним f з гомотопією . Транзитивність. Нехай відображення гомотопне відображенню і — відповідна гомотопія. Нехай також відображення гомотопне відображенню і — відповідна гомотопія. Тоді f є гомотопним h з гомотопією:
Усі відображення є неперервними. Якщо — неперервні відображення, і — гомотопія між і , то є гомотопією між і .
Приклади Якщо , то функції і є завжди є гомотопними. Гомотопія визначається: Множини є еквівалентними гомотопічно, але не гомеоморфними. Одиничне коло гомотопно еквівалентне простору . де - апроксимуючі скінченні моделі CW-комплексу Тут ми маємо відображення Отримуємо бієкцію Нехай - гомотопічні простори із відзначеною точкою, де - скінченне й у ньому виконується Нехай відображення є неперервними та виконується Тоді вони є гомотопними. Дійсно, можна побудувати гомотопію із наступними властивостями:
Щоб показати неперервність відображеження потрібно показати, що є замкненим для будь-якої точки Якщо , то й Це дає Тоді А відтак він є замкненим як об'єднання замкнених множин.
Посилання С. Максименко, Інститут математики НАН України, . Література Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7 Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977 Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971