У математиці та при обробці сигналів перетворення Гільберта — специфічний лінійний оператор, який функцію дійсної змінної відображає в іншу функцію дійсної змінної . Такий лінійний оператор визначається згорткою з функцією (див. нижче Означення). Перетворення Гільберта має особливо просте представлення в частотній області: воно визначає фазовий зсув на ( радіан) для кожного частотного компоненту функції, при цьому знак зсуву залежить від знаку частоти (див. нижче Зв'язок з перетвореннями Фур'є). Перетворення Гільберта важливе для обробки сигналів, де воно є компонентою дійснозначного сигналу . Перетворення Гільберта було вперше введено Давидом Гільбертом у такій постановці при розв'язанні частинного випадку для аналітичних функцій.
Означення
Перетворення Гільберта функції можна розглядати як згортку функції з функцією , відомою як ядро Коші. Оскільки функція неінтегрована в околі , то інтеграл, який визначає згортку, не завжди є збіжним. Замість цього, перетворення Гільберта визначається з використанням головного значення інтеграла за Коші (яке позначається тут як ). У явному вигляді, перетворення Гільберта функції (чи сигналу) визначається як
за умови, що цей інтеграл існує у сенсі головного значення. Це і є в точності згортка функції із помірним розподілом .due to ; see . Також, за допомогою заміни змінних, головне значення інтеграла за Коші можна записати явно як
Якщо перетворення Гільберта послідовно двічі застосувати до функції , то в результаті функція змінює знак:
за умови, що інтеграли в обох ітерації є збіжними у відповідному сенсі. Зокрема, оберненим перетворенням є . Цей факт найлегше побачити, розглянувши дію перетворення Гільберта на перетворення Фур'є функції (див. нижче Зв'язок з перетворенням Фур'є).
Для аналітичної функції у верхній півплощині, перетворення Гільберта описує зв'язок між дійсною та уявною частинами граничних значень. Тобто, якщо функція є аналітичною у верхній півплощині комплексної площини і , то з точністю до адитивної константи, за умови, що перетворення Гільберта існує.
Позначення
У теорії обробки сигналів перетворення Гільберта функції зазвичай позначають як .e.g., Проте в математиці це позначення вже широко використовують для перетворення Фур'є функції . Інколи для перетворення Гільберта використовують позначення .e.g., Крім того, багато джерел визначають перетворення Гільберта як від'ємне до одного з визначених тут.e.g.,
Історія Перетворення Гільберта виникло у 1905 році в роботі Гільберта про проблему Рімана щодо аналітичних функцій, яка стала відома як . Робота Гільберта в основному стосується перетворення Гільберта для функцій, що визначені на колі. Деякі з його попередніх робіт, що пов'язані з дискретним перетворенням Гільберта, базуються на лекціях, які він читав в Геттінгені. Ці результати пізніше були опубліковані у дисертації Германа Вейля. Шур покращив результати Гільберта про дискретне перетворення Гільберта і розширив їх на інтегральний випадок. Ці результати були послаблені для просторів та . В 1928 році довів, що перетворення Гільберта можна визначити для функції у просторі при . Ріс також довів, що перетворення Гільберта є обмеженим оператором у просторі при , і, що аналогічні результати справедливі для перетворення Гільберта на колі, а також для дискретного перетворення Гільберта. Перетворення Гільберта було мотиваційним прикладом для Антонія Зигмунда та при дослідженні . Ці дослідження зіграли фундаментальну роль в сучасному гармонійному аналізі. Різноманітні узагальнення перетворень Гільберта, такі як білінійне і трилінійне перетворення, і сьогодні залишаються активними областями досліджень.
Зв'язок з перетворенням Фур'є Перетворення Гільберта — це оператор множення. Множником оператора є , де — це функція знаку. Отже,
де — перетворення Фур'є.Оскільки , то цей результат можна використовувати для трьох загально відомих означень для перетворення Фур'є . Згідно з формулою Ейлера
Таким чином, перетворення Гільберта має ефект зсуву фази для компонент з від'ємною частотою функції на () і для компонент з додатною частотою — на , а має ефект відновлення компонент з додатною частотою при зсуві компонент з від'ємною частотою додатково на , що приводить у результаті до зміни знаку (тобто множення на ). Якщо перетворення Гільберта застосовується двічі, то фаза для компонент від'ємної та додатної частот функції відповідно зміщуються на та , які є еквівалентними сумами.Сигнал змінює знак, тобто , оскільки
Таблиця деяких перетворень Гільберта У наступній таблиці, параметр частоти — є дійсним. Сигнал Перетворення ГільбертаДеякі автори (наприклад, Брейсвелл) використовують оператор , як означення прямого перетворення. Звідси випливає, що у правому стовпчик цієї таблиці необхідно змінити знак. Перетворення Гільберта для функцій синуса та косинуса можна визначити, взявши головне значення інтеграла на нескінченності. Таке означення узгоджується з дистрибутивністю означення перетворення Гільберта. , Функція sinc Дельта-функція Дірака Характеристична функція Примітки
Доступна достатньо велика таблиця перетворень Гільберта. Зауважимо, що перетворення Гільберта для константи дорівнює нулю
Область визначення
Зовсім не очевидно, що перетворення Гільберта взагалі є добре визначеним, оскільки відповідний невласний інтеграл має збігатися у відповідному сенсі. Проте перетворення Гільберта добре визначене для широкого класу функцій, а саме у просторі , .
Точніше, якщо функція з простору , , тоді границя, що визначає цей невласний інтеграл
існує для майже всіх . Границя функції також існує в просторі і фактично є границею в середньому для невласного інтеграла. А саме
у нормі при . Збіжність є поточковою майже всюди за теоремою Тітчмарша.
У випадку перетворення Гільберта все ще збігається поточково майже всюди, але саме по собі може бути неінтегровним, навіть локально. Зокрема, збіжність у середньому, у цьому випадку загалом негарантоване. Перетворення Гільберта для функції з є збіжним, але — у слабкому сенсі, і перетворення Гільберта є обмеженим оператором з простору у простір . (Зокрема, оскільки перетворення Гільберта також є оператором множення в просторі , то інтерполяційна теорема Марцинкевича та аргумент дуальності надають альтернативне доведення того, що оператор є обмеженим у просторі .)
Властивості
Обмеженість Якщо , то перетворення Гільберта в просторі є обмеженим лінійним оператором, тобто існує константа така, що
для всіх .This theorem is due to ; see also . Найкраще константа визначається як This result is due to ; see also .
Найпростіший спосіб знаходження найкращої константи для , яке є степенем , через так звану рівність Котлара
для всіх дійснозначних функцій . Ті самі найкращі константи мають місце для періодичного перетворення Гільберта.
З обмеженості перетворення Гільберта випливає збіжність симетричного оператора частинної суми
для функції з простору .Дивись, наприклад .
Антисамоспряженість Перетворення Гільберта є оператором відносно дуального утворення пар між простором та дуальним простором , де та — спряжені за Гельдером і , . У символьній формі
для та .
Обернене перетворення Перетворення Гільберта є антиінволюцією, тобто
за умови, що кожне перетворення є добре визначеним. Оскільки оператор зберігає простір , то перетворення Гільберта є оборотне в просторі і
Структура над комплексною площиною Оскільки ( — тотожний оператор у дійсному банаховому просторі дійснозначних функцій у просторі , то перетворення Гільберта визначає в банаховому просторі. Зокрема, при перетворення Гільберта надає гільбертовому простору дійснозначних функцій в просторі структуру \emph{комплексного} гільбертового простору.
Квантові стани (зокрема, комплексні) перетворення Гільберта допускають за представлення у вигляді голоморфних функцій у верхній та в нижній півплощинах у просторі Гарді .
Згортки Перетворення Гільберта можна формально реалізувати як згортку з узагальненою функцією повільного росту
Таким чином, формально можна записати
Однак, апріорі можна визначити лише для узагальненої функції з компактним носієм. З цим можна працювати дещо строгіше, оскільки функції з компактними носіями(які очевидно є узагальненими) є щільними в просторі . Як альтернативу можна використати той факт, що є узагальненою похідною від функції , а саме
Для більшості обчислювальних задач Перетворення Гільберта можна розглядати як згортку. Наприклад, у формальному сенсі перетворення Гільберта згортки — це згортка перетворення Гільберта, що застосована лише до одного з множників:
Це строго коректно, якщо і — це узагальнені функції з компактними носіями, оскільки в цьому випадку
Таким чином, переходячи до відповідної границі, з теореми Тічмарша випливає також коректність для і за умови, що
Інваріантність У просторі перетворення Гільберта має наступні інваріантні властивості: Воно комутує зі зсувами, тобто з операторами для всіх . Воно комутує з додатніми розтягами, тобто з операторами для всіх . Воно антикомутує з віддзеркаленням . Таким чином, з точністю до мультиплікативної константи перетворення Гільберта — це єдиний обмежений оператор у просторі , який володіє вищезгаданими властивостями. Насправді існує ширша множина операторів, що комутують з перетворенням Гільберта. Група дія якої у просторі за допомогою унітарних операторів визначається формулою
— це приклад групи . У цьому випадку унітарне представлення є звідним, розщепленим як ортогональна сума два інваріантних підпросторів: простору Гарді і його дуального простору. Це простори граничних значень голоморфних функцій на верхній та нижній півплощинах. Простір і його дуальний простір у точності складаються з функцій простору , що зануляються перетвореннями Фур'є відповідно на від'ємній та додатній частинах дійсної осі. Оскільки перетворення Гільберта дорівнює оператору , де — це ортогональна проєкція з простору у простір , — тотожний оператор, то з цього випливає, що простір і його ортогональний простір є власними просторами оператора для власних значень . Іншими словами оператор комутує з унітарним оператором . Обмеження операторів на простір і його дуальний простір визначає незвідні представлення групи — так названа See , , and ..
Розширення області визначення
Перетворення Гільберта для узагальнених функцій Перетворення Гільберта можна узагальнити на деякі простори узагальнених функцій . Оскільки перетворення Гільберта комутує з диференціюванням і є обмеженим оператором на просторі , то оператор звужується і отримуємо неперервне перетворення на проєктивній границіпросторів Соболєва:
Перетворення Гільберта можна визначити в дуальному просторі простору , позначається як і складається з узагальнених функцій. Це досягається за допомогою двоїстості: для всіх перетворення Гільберта визначається як
Перетворення Гільберта можна визначити на просторі узагальнених функцій повільного росту за допомогою підходу Гельфанда і Шилова, але необхідно значно більше уваги через сингулярність інтегралу.
Перетворення Гільберта для обмежених функцій Перетворення Гільберта можна також визначити для функцій з простору , але це потребує деяких модифікацій та застережень. При правильному розумінні перетворення Гільберта відображає простір у банаховий простіркласів функцій з . При наївній інтерпретації перетворення Гільберта для обмежених функцій очевидно погано визначене. Наприклад, для функції інтеграл, що визначає перетворення Гільберта є розбіжним майже всюди до . Щоб уникнути таких складнощів, перетворення Гільберта для функцій з простору визначається наступною регуляризованою інтегральною формулою
де як і вище і
Модифіковане перетворення Гільберта узгоджується з оригінальним перетворенням Гільберта для функції з компактним носієм виходячи із загального результату Кальдерона і Зигмунда ; see ..