Коефіцієнти Клебша — Ґордана — набір чисел, що виникають у квантовій механіці при описі взаємодії кутових моментів, і позначаються або . З математичної точки зору, коефіцієнти Клебша — Ґордана виникають у теорії представлень (зокрема компактних груп Лі) при розкладі тензорного добутку двох незвідних представлень у пряму суму незвідних представлень, якщо відомі їх кількість та форма. Коефіцієнти названі на честь німецьких математиків Альфреда Клебша (1833–1872) та Пауля Ґордана (1837–1912), які розв'язали аналогічну задачу в теорії інваріантів.
Означення Вектори стану багатьох квантових систем можна вибрати таким чином, щоб вони були власними функціями квадрата оператора кутового момента і його проєкції на певну вісь. Такі вектори стану характеризуються двома квантовими числами j та m, відповідні власні значення:
,
де — зведена стала Планка.
Систему, що складається із двох незалежних підсистем, кожна з яких має власний кутовий момент, можна характеризувати чотирма квантовими числами: , та , . Вектор стану такої системи можна записати як .
Однак, такий вибір власних векторів стану не єдиний. Квадрат оператора суми операторів кутових моментів .
комутує з операторами та . Те ж саме стосується проєкції оператора сумарного моменту: .
Тому сумарну систему можна характеризувати чотирма квантовими числами: , , , , де числа без індексів відносяться сумарної системи. Відповідний вектор стану позначається . Нові, сумарні, вектори стану можна подати, як лінійну комбінацію старих, індивідуальних, векторів стану . Коефіцієнти цієї лінійної комбінації називаються коефіцієнтами Клебша — Ґордана: .
Властивості Коефіцієнти Клебша — Ґордана відмінні від нуля тільки тоді, коли .
Крім того, квантове число сумарного орбітального моменту задовольняє умові трикутника: .
Справедливі умови ортогональності та нормування:
,
де — символ Кронекера.
Див. також Оператор повного моменту Сферичні гармоніки Теорема Вігнера — Еккарта 3j-символи 6j-символи 9j-символи 12j-символи 15j-символи
Джерела