В геометрії та комплексному аналізі перетворення Мебіуса комплексної площини є раціональною функцією однієї комплексної змінної вигляду
де — змінна, коефіцієнти , , , — комплексні числа, що задовольняють умову .
Геометрично перетворення Мебіуса можна отримати наступним шляхом: Виконати стереографічну проєкцію одиничної сфери у тривимірному просторі на площину. Повернути та перемістити сферу в нове положення та змінити орієнтацію в просторі. Виконати стереографічну проєкцію (з нового положення сфери) на площину.
Ці перетворення зберігають кути, відображають будь-яку пряму у пряму або коло, відображають будь-яке коло у пряму або коло.
Перетворення Мебіуса — це проєктивні перетворення комплексної проєктивної прямої. Вони утворюють групу, яка називається групою Мебіуса, що є проєктивною групою . Група Мебіуса разом з її підгрупами має численні застосування в математиці та фізиці.
Перетворення Мебіуса названо на честь Августа Фердинанда Мебіуса. Проте, для нього також використовують такі назви як: проєктивне перетворення, дробово-лінійне перетворення, або ж білінійне перетворення.
Загальний огляд Перетворення Мебіуса визначаються на розширеній комплексній площині (тобто, комплексній площині, доповненій нескінченно віддаленою точкою).
Стереографічна проєкція ототожнює із сферою, яку прийнято називати сферою Рімана. Також можна розглядати як комплексну проєктивну лінію . Перетворення Мебіуса — це бієктивне конформне відображення сфери Рімана самої на себе, тобто автоморфізм сфери Рімана як комплексного многовиду. Також ці перетворення є автоморфізмами як алгебраїчного многовиду. Отже, сукупність усіх перетворень Мебіуса утворює групу відносно композиції. Ця група називається групою Мебіуса і іноді позначається як .
Група Мебіуса є ізоморфною до групи ізометрій, що зберігають орієнтацію, гіперболічного простору, а тому відіграє важливу роль при вивченні .
У фізиці групи Лоренца діє на небесну сферу так само, як група Мебіуса діє на сферу Рімана. Насправді ж ці дві групи є ізоморфними. Спостерігач, який прискорюється до релятивістичних швидкостей, побачить візерунок із сузір'їв, який можна споглядати поблизу Землі, та який неперервно змінюється відповідно до інфінітезимальних перетворень Мебіуса. Це спостереження часто приймають як вихідну точку теорії твісторів.
Певні підгрупи групи Мебіуса утворюють групи автоморфізмів інших однозв'язних поверхонь Рімана (комплексна площина та гіперболічна площина). Таким чином, перетворення Мебіуса відіграють важливу роль у теорії поверхонь Рімана. Фундаментальна група кожної поверхні Рімана — це дискретна підгрупа групи Мебіуса (див. група Фукса та ). Особливо важливою дискретною підгрупою групи Мебіуса є модулярна група, що займає центральне місце в теорії багатьох фракталів, модулярних форм, еліптичних кривих та рівнянь Пелля.
Перетворення Мебіуса можна більш загально визначити в просторах розмірності більшої за 2 як бієктивні конформні відображення n-сфери на n-сферу, які зберігають орієнтацію. Таке перетворення є найбільш загальною формою конформного відображення сфери. Відповідно до теореми Ліувілля, перетворення Мебіуса можна виразити як композицію зсувів, подібностей, ортогональних перетворень та інверсій.
Означення Загальний вигляд перетворення Мебіуса задається формулою
де , , , — будь-які комплексні числа, що задовольняють умову . Якщо , то визначена вище раціональна функція є константою, оскільки
a, отже, не розглядається у цьому випадку як перетворення Мебіуса.
У випадку це означення розширюється на всю сферу Рімана наступним чином:
Якщо , то вважаємо
Таким чином, перетворення Мебіуса завжди є бієктивною голоморфною функцією, що відображає точки сфери Рімана у точки сфери Рімана.
Сукупність усіх перетворень Мебіуса утворює групу відносно композиції. На цій групі можна задати структуру комплексного многовиду таким чином, щоб композиція та інверсія були голоморфними відображеннями. Тоді група Мебіуса є групою Лі над комплексним полем. Групу Мебіуса зазвичай позначають як , оскільки вона є групою автоморфізмів сфери Рімана.
Нерухомі точки Кожне перетворення Мебіуса, що не є тотожним, має дві нерухомі точки й на сфері Рімана. Слід звернути увагу на те, що нерухомі точки враховуються з урахуванням кратності; є ті, для яких нерухомі точки збігаються. Будь-яка (або обидві) з цих нерухомих точок може бути нескінченно віддаленою точкою.
Означення нерухомих точок
Нерухомі точки перетворення
знаходяться як розв'язки рівняння . При це рівняння має два корені, які отримуємо за допомогою його зведення до рівняння вигляду
що є квадратним рівнянням відносно , корені якого можна знайти за формулою
з дискримінантом рівним
Параболічні перетворення мають співпадаючі нерухомі точки при нульовому дискримінанті. При та ненульовому дискримінанті перетворення є еліптичним або гіперболічним.
При квадратне рівняння вироджується у лінійне, а перетворення у свою чергу є лінійним. Це відповідає ситуації, коли одна з нерухомих точок є нескінченно віддаленою точкою. При друга нерухома точка є скінченною і визначається як
У цьому випадку перетворення буде простим, тобто таким, що утворюється композицією з зсувів, поворотів та розтягів:
Якщо і , то обидві нерухомі точки є нескінченно віддаленими, і перетворення Мебіуса відповідає чистим зсувам: .
Топологічне доведення
Топологічно той факт, що (нетотожні) перетворення Мебіуса фіксують 2 точки (з урахуванням кратності), відповідає характеристиці Ейлера-Пуанкаре сфери, що дорівнює
По-перше, проєктивна лінійна група є точно -транзитивною: для будь-яких двох упорядкованих трійок різних точок існує єдине відображення, яке змінює одну трійку на іншу, як і для перетворень Мебіуса, і з тим самим алгебраїчним доведенням (особливо, врахування розмірності, оскільки група є тривимірною). Таким чином, будь-яке відображення, що фіксує принаймні точки, є тотожним.
Далі, ототожнюючи групу Мебіуса з групою , можна побачити, що будь-яка функція Мебіуса є гомотопічною до тотожної функції. Дійсно, будь-який елемент загальної лінійної групи може бути зведений до тотожного відображення за допомогою методу Жордана-Гауса. Це показує, що проєктивна лінійна група також є лінійно-зв'язною, забезпечуючи гомотопію до тотожного відображення. Теорема Лефшеца про нерухому точку стверджує, що сума індексів (у цьому контексті, кратності) нерухомих точок відображення з скінченною кількістю нерухомих точок дорівнює числу Лефшеца відображення, що в цьому випадку є слідом тотожного відображення на гомологічних групах, який є просто характеристикою Ейлера.
Зауважимо, що проєктивна лінійна група дійсної проєктивної прямої може не фіксувати жодних точок. Наприклад, не має (дійсних) нерухомих точок: хоча як комплексне перетворення воно фіксує точки , Геометрично це відображення є стереографічною проєкцією повороту на навколо з періодом : ; тоді як відображення фіксує дві точки і . Це відповідає тому факту, що характеристика Ейлера кола (дійсної проєктивної прямої) дорівнює , і, отже, теорема Лефшеца про нерухому точку говорить лише про те, що воно повинно фіксувати принаймні точок, але, можливо, і більше.
Нормальна форма
Перетворення Мебіуса також іноді записують через їхні нерухомі точки, тобто у так званій нормальній формі. Спочатку розглянемо непараболічний випадок, для якого існує дві різні нерухомі точки.
Непараболічний випадок:
Будь-яке непараболічне перетворення є спряженим до розтягу/повороту, тобто перетворенням вигляду:
з нерухомими точками та . Щоб показати це, розглянемо відображення
яке відображає точки і у точки та . Припускаємо, що точки і є різними та скінченними. Якщо одна з них є нескінченно віддаленою точкою, то можна змінити так, щоб зафіксувати нескінченність і відобразити іншу точку у .
Якщо має різні нерухомі точки і , то перетворення має нерухомі точки в та , а тому є розтягом: . Тоді рівняння для нерухомих точок перетворення можна записати наступним чином: . Розв'язавши відносно отримуємо (у матричній формі): , або якщо одна з нерухомих точок є нескінченно віддаленою:
З наведених вище виразів можна обчислити значення похідної у нерухомих точках: . Зауважимо, що фіксуючи порядок нерухомих точок, можемо виокремити один із множників відображення як характеристичну константу . Зміна порядку нерухомих точок еквівалентна до використання оберненого множника як характеристичної константи: .
Для локсодромних перетворень, при , говорять, що — відштовхувальна нерухома точка, а — притягальна нерухома точка. Для , ролі точок змінюються.
Параболічний випадок:
У параболічному випадку існує лише одна нерухома точка . Перетворення, що ставить цій точці у відповідність , має вигляд , або є тотожним, якщо вже є нескінченно віддаленою точкою. Перетворення фіксує нескінченність, а, отже, є зсувом: . Тут називається довжиною зсуву. Тоді формула для нерухомої точки параболічного перетворення має вигляд . Розв'язавши відносно отримуємо (у матричній формі):
або якщо :
Зауважимо, що не є характеристичною константою , яка завжди дорівнює для параболічного перетворення. З наведених співвідношень знаходимо: .
Полюси перетворень
Точка , яку відображає у нескінченно віддалену точку, називається полюсом . Обернений полюс — це точка, в яку відображається нескінченно віддалена точка. Точка, що знаходиться на однаковій відстані від двох полюсів, завжди збігається з точкою, що лежить рівно посередині між двома нерухомими точками: . Ці чотири точки є вершинами паралелограма, який іноді називають характеристичним паралелограмом перетворення.
Перетворення можна визначити за допомогою двох нерухомих точок , та полюса : . Це дозволяє нам отримати формулу для перетворення між та з урахуванням , :
що зводиться до вигляду . Останнє співвідношення співпадає з однією (взаємнообернених) з часток власних значень матриці , що визначає перетворення (зверніть увагу на інформацію, наведену в попередньому розділі щодо характеристичних констант перетворення). Характеристичний поліном даного перетворення дорівнює , та має два корені
Прості перетворення Мебіуса та композиція
Перетворення Мебіуса можна представити як композицію послідовності простих перетворень. Нижченаведені прості перетворення також є перетвореннями Мебіуса:
— паралельне перенесення; — комбінацією гомотетії та обертання; якщо , то перетворення є поворотом, а якщо — гомотетією; — інверсія та відбиття відносно дійсної осі.
Композиція простих перетворень
Якщо , то
— паралельне перенесення на відстань ; — інверсія та відбиття відносно дійсної осі; — гомотетія та поворот; — паралельне перенесення на відстань .
Тоді композиція цих визначає перетворення Мебіуса:
Тобто
За допомогою цього представлення стають очевидними багато властивостей перетворень Мебіуса.
Елементарні властивості
Перетворення Мебіуса еквівалентні послідовності більш простих перетворень. З огляду на таку композиція багато властивостей перетворень Мебіуса є очевидними.
Формула для оберненого перетворення
Існування оберненого перетворення Мебіуса та його запис у явній формі можна легко вивести за допомогою композиції обернених функцій простіших перетворень. Тобто, визначимо функції , , , таким чином, щоб кожна була оберненою до . Тоді композиція
є формулою оберненого перетворення.
Збереження кутів та узагальнених кіл
З цього розкладу бачимо, що перетворення Мебіуса мають усі нетривіальні властивості інверсії кола. Наприклад, доведення властивості про збереження кутів зводиться до доведення того, що інверсія кола зберігає кути, оскільки інші типи перетворень — розтяги й ізометрії (паралельне перенесення, відбиття, поворот), які тривіально зберігають кути.