В математиці градуйованою алгеброю (кільцем, модулем) називається алгебра (кільце, модуль) із спеціальною структурою — градуюванням.
Градуйовані кільця
Градуйоване кільце A — кільце, що є прямою сумою комутативних адитивних груп:
і виконується властивість:
тобто
Елементи називаються однорідними елементами порядку n. Ідеал ⊂ A називається однорідним, якщо для кожного елемента a ∈ , всі однорідні складові a також належать
Якщо I — однорідний ідеал в A, тоді фактор-кільце також є градуйованим кільцем, що має розклад:
Градуйовані модулі Подібним чином визначається поняття градуйованого модуля. Модуль M над градуйованим кільцем A називається градуйованим якщо:
і
Градуйовані алгебри Алгебра A над кільцем R називається градуйованою алгеброю, якщо вона є градуйованою як кільце. У випадку якщо кільце R є також градуйованим, то також вимагається виконання умов: , і .
G - градуйована алгебра
Нехай A — алгебра над кільцем k, G — моноїд.
Алгебра A називається G-градуйованою, якщо A розкладається в пряму суму k-модулів по всіх елементах g з G, причому множення в алгебрі узгоджене з множенням в моноїді:
Якщо ненульовий елемент a належить , то він називається однорідним степеня g.
Подібним чином можна визначити і G - градуйовані кільця і модулі.
Конструкції з градуюваннями
Якщо A — G-градуйована алгебра, а — гомоморфізм напівгруп, тоді A наділяється H-градуюванням за правилом:
На будь-якій алгебрі A можна ввести тривіальне градуювання будь-якою напівгрупою G з одиницею e, вважаючи .
Над полем будь-яка алгебра A градуюється групою G характерів максимального тора своєї групи алгебраїчних автоморфізмів: для всякого .
Приклади Кільце многочленів від однієї або декількох змінних. Кільце когомологій Алгебра матриць порядку n градуюється групою Напівгрупова алгебра є G-градуйованою алгеброю.
Література C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam,1982