Мінімальний многочлен матриці A розмірності n×n над полем F — многочлен p(x) над полем F, такий, що p(A)=0, старший коефіцієнт якого рівний 1 і степінь якого мінімальна серед таких многочленів. Для довільної матриці такий многочлен існує і є єдиним.
Властивості Нехай p(x) — мінімальний многочлен матриці A і g(x) — деякий інший многочлен, такий що g(A) = 0 (анулюючий многочлен матриці A). Тоді p(x) ділить многочлен g(x). Еквівалентно, якщо для матриці A над полем визначити множину:
то буде ідеалом в кільці многочленів над полем . Цей ідеал тоді буде головним, породженим мінімальним многочленом p(x). Такі твердження є еквівалентними: є коренем многочлена p(x), λ є коренем характеристичного многочлена матриці A, λ є власним значенням матриці A. Кратність кореня λ мінімального многочлена p(x) рівна розміру найбільшого жорданового блоку, що відповідає числу λ Якщо матрицю A можна привести до діагонального виду у полі , то многочлен p(x) у полі можна розкласти на лінійні множники, причому всі корені тоді відмінні.
Обчислення Визначимо I A, v як:
Дана множина є головним ідеалом. Нехай многочлен зі старшим коефіцієнтом 1, що породжує цей ідеал.
Многочлен ділить p(x). Якщо d — найбільше натуральне число, таке що v, A(v), ... , Ad(v) є лінійно незалежними,тоді
для деяких і
Для базису {v1,..., vn} мінімальний многочлен рівний найменшому спільному кратному многочленів для всіх i = 1, ... , n.
Див. також Анулюючий многочлен Характеристичний многочлен Власне значення матриці
Джерела
Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7 .