Слід — відображення елементів скінченного розширення поля E / K у початкове поле K, визначуване таким чином:
Нехай E — скінченне розширення K степеня n=[E:K], α — деякий елемент з поля E. Він визначає лінійне відображення на E:x→αx. Цьому відображенню в деякому базисі e1,e2, ..., en відповідає квадратна матриця A розмірності n з елементами із поля K :
(αe1,αe2.αen)=(e1,e2.en)*A.
Слід цієї матриці називається слідом елемента α. Оскільки для іншого базису даному відображенню відповідатиме подібна матриця A'=CAC-1 , то за елементарною теоремою лінійної алгебри слід не залежить від вибраного базису. Він позначається TrKE(α)
Властивості сліду
TrKE(α+β)=TrKE(α)+TrKE(β) TrKE(cα)=cTrKE(cα) для елемента с, що належить полю K. Якщо Е — сепарабельне, то TrKE — ненульовий функціонал, якщо несепарабельне, то TrKE=0. Для полів К/E/F маємо: TrKE(TrEF(α))=TrKF(α) (транзитивність сліду)
Якщо E=K(α) і f(x)=xn+an-1xn-1+...+a1x+a0 — незвідний многочлен, для α то TrKK(α)(α)= -an-1 Вираз сліду через гомоморфізми E над K
Нехай σ1,σ2,...,σm — всі гомоморфізми E в алгебраїчному замиканні поля K, що є гомоморфізмами над K, тобто залишають нерухомими всі елементи K. Якщо E сепарабельне то m рівне степеню [E:К]=n . Тоді для норми існує наступний вираз:TrKE(a)=σ1(a)+σ2(a)+...+σn(a)Якщо E несепарабельне то m≠n — степені [E:K], в цьому випадку n кратно m, причому частка є деяким степенем характеристики p: n=pim.
ТодіTrKE(a)=pi(σ1(a)+σ2(a)+...+σm(a))''=0
Література