Лема Гро́нуолла — Бе́ллмана — лема про інтегральні (диференціальні) нерівності Беллман Р., Теория устойчивости решений диференциальных уравнений, ИЛ, 1954 Bihari J., A genralizatial of differential equations, Acta math. Acad. Scient. Hung. VII, 1 (1956), 81-94. Використовується для встановлення різноманітних оцінок в теорії звичайних диференціальних рівнянь та стохастичних диференціальних рівнянь. Зокрема, вона використовується при доведені єдиності розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння.
Формулювання В інтегральній формі.
Нехай
причому при виконується нерівність:
де — деяка додатна константа. Тоді для довільного виконується оцінка
В диференціальні формі.
Нехай
причому при виконується нерівність:
Тоді для довільного виконується оцінка
Зауваження. В цьому випадку немає жодних припущень на знак функцій , але вимагається диференційовність функції .
Доведення Із нерівності (1) отримуємо
та
Оскільки
то, інтегруючи нерівність (3) в межах від до , матимемо
Звідси, використовуючи нерівність (1), отримуємо
що й треба було довести.
Примітки
Джерела Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.