Ціле розширення кільця — розширення B комутативного кільця R з одиницею таке, що будь-який елемент є цілим над R, тобто задовольняє деякому рівнянню вигляду

де . Дане рівняння називається рівнянням цілої залежності. Елемент x є цілим в R тоді і тільки тоді, коли виконується одна з двох еквівалентних умов:

R[x] є скінченно породженим R-модулем ; існує точний R[x]-модуль, що є скінченно породженим R-модулем.

Приклади

Цілий елемент є алгебраїчним над R. Якщо R — поле, то вірним є і зворотне твердження. Елементи поля комплексних чисел , цілі над кільцем , називаються цілими алгебраїчними числами. Якщо кільце B є скінченно породженим модулем над R, то будь-який елемент є цілим над R, тобто розширення є цілим (зворотне може не бути вірним).

Властивості

Нехай кільце — комутативне, x і y — елементи A, цілі над R. Тоді x + y і xy також цілі над R, і множина всіх елементів з A, цілих над R, утворює підкільце, що називається цілим замиканням R в A. * Якщо B є цілим над R і R' — деяка R-алгебра, то є цілим над R'. Якщо В — ціле розширення кільця R і S — деяка мультиплікативна підмножина в R, локалізація S-1B є цілим розширенням локалізації S-1R. Нехай , де . Тоді, оскільки розширення є цілим, для виконується рівність для деяких . Як наслідок і оскільки всі , то дана рівність є рівнянням цілої залежності елемента над кільцем . Оскільки елемент був обраний довільно, отримуємо необхідний результат. Нехай розширення є цілим тоді і лише тоді, коли цілими є обидва розширення і . Якщо В — ціле розширення кільця R, J — ідеал кільця В і . Тоді фактор-кільце буде цілим розширенням фактор-кільця . Позначимо . Для виконується рівність для деяких . Перейшовши до фактор-кільця за ідеалом J і ідентифікуючи як підкільце , отримуємо рівність , яка і є необхідним рівнянням цілої залежності. Нехай — ціле розширення областей цілісності. Тоді A є полем, якщо і тільки якщо R є полем. Припустимо, що R є полем і . для деяких . Степінь многочлена n можна вибрати мінімальним. Тоді , оскільки A є областю цілісності і для нього існує обернений елемент адже він належить полю R. Тому , тож для існує обернений елемент рівний , що завершує першу частину доведення. Навпаки, припустимо, що A є полем і . Тоді для як елемента поля A в цьому полі існує обернений елемент. Позначимо Для існує рівняння цілої залежності над R: для деяких . Помноживши обидві сторони рівняння на отримаємо рівність Звідси бачимо, що елемент є оберненим до і належить R. Тобто R теж є полем.

Нехай — ціле розширення кілець, — простий ідеал кільця A і Тоді ідеал є максимальним тоді і тільки тоді коли ідеал є максимальним. Згідно попередніх властивостей фактор-кільце є цілим розширенням фактор-кільця . Оскільки обидва ідеали є простими, то ці фактор-кільця є областями цілісності. Згідно попередньої властивості є полем тоді і тільки тоді, коли є полем і необхідний результат випливає з того, що ідеал є максимальним тоді і тільки тоді коли фактор-кільце по ньому є полем.

Нехай — ціле розширення кілець, — прості ідеали кільця A і . Тоді . Локалізація (по мультиплікативній множині ) є цілим розширенням локалізації . Також є простими ідеалами кільця . Оскільки і останній ідеал є максимальним в , то за попередньою властивістю і теж є максимальними ідеалами у . Тому , звідки також .

Область цілісності R називається цілозамкнутою, якщо ціле замикання R в своєму полі часток рівне R. Факторіальне кільце є цілозамкнутим. Кільце R є цілозамкнутим тоді і тільки тоді для будь-якого максимального ідеалу з R цілозамкнутим є локальне кільце .

Нехай A — ціле розширення R і — деякий простий ідеал кільця R. Тоді існує простий ідеал кільця A, що лежить над (тобто такий, що ). Гомоморфізм включення однозначно задає гомоморфізм включення локалізацій Нехай M — довільний максимальний ідеал кільця . З попередніх властивостей його перетин має бути максимальним ідеалом кільця , тобто Розглянемо тепер гомоморфізми задані як . Тоді . Ідеал є простим ідеалом кільця A для якого , тобто даний ідеал задовольняє вимоги теореми. Теорема про підняття. Нехай — ціле розширення кілець, — послідовність простих ідеалів кільця R і — послідовність простих ідеалів кільця A, для яких . Тоді існують прості ідеали кільця A, такі що і. Очевидно теорему достатньо довести для n =2, m =1. Загальний результат тоді випливає за допомогою математичної індукції. При тих же позначеннях, що і вище фактор-кільце є цілим розширенням фактор-кільця і є простим ідеалом кільця . Тому існує простий ідеал кільця , що лежить над . Згідно властивостей фактор-кілець цей ідеал має вигляд де є простим ідеалом кільця A для якого . Очевидно, що

Нехай — ціле розширення кілець. Тоді і для довільних ідеалів і для яких виконується нерівність Якщо L — скінченне розширення поля часток кільця R і В — ціле замикання R в L, то існує лише скінченна кількість простих ідеалів кільця В, що лежать над заданим простим ідеалом кільця R.

Література Ю. Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії. ВНТЛ–Класика. Львів, 2004.

Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Integral closure of ideals, rings, and modules, London Mathematical Society Lecture Note Series, 336, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68860-4