Дискретну випадкову величину яка приймає значення з множини будемо називати цілочисельною, а її розподіл будемо визначати ймовірностями , де .
Генератрисою цілочисельної випадкової величини будемо називати функцію
,
яка виражається через закон розподілу такою функцією:
,
яка очевидно збігається при .
Застосування в теорії ймовірностей Якщо — додатня цілочисленна випадкова величина, то її математичне сподівання може бути виражене через генератрису як значення першої похідної в одиниці: .
Дійсно, .
При підстановці отримаємо величину , яка за визначенням є математичним сподіванням дискретної випадкової величини.
Якщо цей ряд розбігається, то -- а має нескінченне математичне сподівання,
Тепер візьмемо твірну функцію послідовності «хвостів» розподілу
Ця твірна функція пов'язана з визначеною раніше функцією властивістю: при . З цього з теореми про середнє випливає, що математичне очікування рівне просто значенню цієї функції в одиниці:
Диференціюючи і використовуючи співвідношення , отримаємо:
Для того, щоб отримати дисперсію , до цього виразу треба додати , що приводить до наступних формул для обчислення дисперсії: . У випадку нескінченної дисперсії .
Джерела