Передпорядок (відношення передпорядку) — бінарне відношення в теорії порядку, що є транзитивним та рефлексивним. Зазвичай позначається тоді визначення передпорядку на множині приймає вигляд: (транзитивність) (рефлексивність)
Якщо замінити у визначенні рефлексивність на антирефлексивність, то отримаємо строгий передпорядок, який позначеється . Визначення: (транзитивність) (антирефлексивність)
Пов'язані визначення Відношення еквівалентності — симетричний передпорядок. Частковий порядок — антисиметричний передпорядок. Повний передпорядок — передпорядок, що є повним.
Теорія категорій В теорії категорій з поняттям передпорядку пов'язують зазвичай дві категорії: категорію передпорядків й категорії, які називають передпорядками.
Передпорядки Категорія називається передпорядком, якщо для будь-яких двох об'єктів існує не більше одного морфізму Якщо — мала категорія, то на множині її об'єктів можна задати відношення передпорядка за наступним правилом:
З аксіом категорії слідує, що таке відношення буде рефлексивним і транзитивним. Передпорядок — це абстрактна категорія, тобто його у загальному випадку не можна представити як категорію деяких множин із заданою структурою і відображеннями, що зберігають цю структуру.
Передпорядок — це скелетна категорія. Якщо мала категорія повна в малому, то вона є предпорядком, причому кожна менша множина його елементів має найбільшу нижню грань. Добуток набору (множини, класу і т. п.) об'єктів предпорядку — це найбільша нижня грань для цього набору. Кодобуток набору об'єктів — це його найменша верхня грань. Початковий об'єкт у передпорядку , якщо він існує, — це його найменший об'єкт, так що Аналогиічно, термінальний об'єкт передпорядку — це найбільший об'єкт у ньому.
Категорія передпорядків Категорія передпорядків позначається зазвичай Об'єктами категорії передпорядків є передпорядки (в сенсі категорій), зокрема, множини, на яких задані відношення передпорядку. Морфізми в цій категорії — відображення множин, зберігають відношення предпорядку, тобто монотонні відображення. Розглянемо в підкатегорію малих передпорядків Це конкретна категорія, наділена очевидним унівалентним забутливим функтором
який зіставляє кожному малому передпорядку множину його об'єктів, а кожному морфізму — монотонне відображення відповідних множин. Цей функтор створює межі в . Таким чином, аналогічно початковим об'єктом в є порожня множина, термінальним об'єктом — множина з одного елементу, добутком об'єктів — прямий добуток відповідних множин з покомпонентним порівнянням, тощо.
Джерела
Р. Голдблатт Топоси. Категорний аналіз логіки, — Мир, 1983. — 487 с. С. Маклейн Категорії для працюючого математика, — ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.