У комплексному аналізі теорема Ліувілля стверджує, що якщо ціла функція комплексних змінних є обмеженою, тобто

то — константа.

Доведення (для випадку ) Нехай обмежена на комплексній площині, тобто

Скористаємося інтегральною формулою Коші для похідної

Де — коло радіуса , що містить точку .

Маємо

Звідси, зважаючи що інтегральна формула Коші справедлива для довільного контуру, маємо

Тоді і, відповідно, є константою. Теорема доведена.

Узагальнення

Якщо ― ціла функція в і для деякого ,

для достатньо великих |z|, то — многочлен від змінних степеня не вище .

Доведення для однієї змінної.Визначимо:

Оскільки f є цілою функцією, то g теж є цілою, і, зважаючи на обмеження на f, одержуємо

для достатньо великих |z|.

Якщо припустити, що g є многочленом степеня не більше n-1, то f є многочленом степеня не більше n. Для завершення доведення достатньо використати звичайну теорему Ліувілля і метод математичної індукції.

Якщо ― дійсна гармонічна функція на всьому просторі ,

то — гармонічний многочлен від цих змінних. Твердження для гармонічних функцій Гармонічна функція на всій площині не може бути обмеженою зверху або знизу, якщо вона не стала.

Оскільки дійсна і уявна частини цілої комплексної функції є гармонічними функціями, дане твердження є наслідком твердження теореми для цілих функцій. Можна також дати доведення за допомогою інтеграла Пуассона.

Доведення Нехай гармонічна функція на всій площині . Тоді функція є також гармонічною на всій площині. Позначимо через довільну точку площини, — відстань від точки до початку координат, і проведемо круг з центром у початку координат такого радіуса , щоб точка була внутрішньою для цього круга (тобто ). В силу гармонічності функції зобразимо її в крузі за допомогою інтеграла Пуассона :

тоді отримаємо

Перейшовши до границі, коли , матимемо

тобто .

В силу довільності точки звідси випливає, що стала на всій площині.

Див. також Нерівність Гарнака

Джерела