.
Трикутник Кеплера — прямокутний трикутник довжини сторін якого перебувають у геометричній прогресії. Відношення сторін трикутника Кеплера прив'язано до золотого перерізу
і може бути записане: , або приблизно 1 : 1.2720196 : 1.6180339. Квадрати сторін трикутника перебувають у геометричній прогресії відповідно до золотого перерізу.
Трикутники з подібним відношенням названі на честь німецького математика і астронома Йоганна Кеплера (1571—1630), який першим продемонстрував, що цей трикутник характеризується рівністю відношення між меншим катетом і гіпотенузою та золотим перерізом. Трикутник Кеплера об'єднує дві математичні концепції — теорему Піфагора і золотий переріз, це глибоко захопило Кеплера.
Деякі джерела стверджують, що трикутник майже подібний трикутнику Кеплера можна побачити в піраміді Хеопса.
Виведення Факт того, що сторони , та , формують прямокутний трикутник отримується прямо шляхом переписання квадратного полінома, що визначає золотий переріз :
у вигляді теореми Піфагора:
Побудова трикутника Кеплера
Трикутник Кеплера може бути побудований за допомогою циркуля та лінійки через золотий прямокутник:
Малюємо звичайний квадрат Проводимо лінію через середину одної сторони квадрата і протилежну вершину Використовуємо цю лінію для накреслення дуги, що визначає висоту прямокутника Використовуємо довшу сторону золотого прямокутника для малювання дуги, що перетинає протилежну сторону прямокутника і визначає гіпотенузу трикутника Кеплера
Математичний збіг
Візьмемо трикутник Кеплера зі сторонами і розглянемо: описане навколо нього коло і квадрат зі стороною, рівною середній за величиною стороні трикутника.
Тоді периметр квадрата () и довжина кола () збігаються з точністю до 0,1 %.
Це математичний збіг . Ці квадрат і коло не можуть мати однакової довжини периметра, оскільки в цьому випадку можна було б розв'язати класичну нерозв'язну задачу про квадратуру круга. Іншими словами, оскільки — трансцендентне число.
Примітки