Індукована топологія — природний спосіб задання топології на підмножині топологічного простору.
Визначення Нехай дано топологічний простір , де — довільна множина, а — визначена на топологія. Нехай також . Визначимо — сім'ю підмножин таким чином:
Нескладно перевірити, що є топологією на . Ця топологія називається індукованою топологією . Топологічний простір називається підпростором .
Цю конструкцію можна узагальнити. Нехай — довільна множина, — топологічний простір і — довільне відображення в . Тоді як візьмемо всілякі множині виду (), де — відкриті множини в . Топологія називається індукованою відображенням топологією. Відображення в цій топології автоматично стає неперервним. Це найслабша (вона містить найменше множин) з усіх можливих топологій на множині , для яких відображення буде неперервним.
Приклад Нехай дана дійсна пряма зі стандартною топологією. Тоді топологія, індукована останньою на множині всіх натуральних чисел , є дискретною.
Властивості
Нехай є підпростором в і позначає відображення вкладення. Тоді для довільного топологічного простору відображення є неперервним тоді і тільки тоді коли композиція відображень є неперервною.
Цю властивість можна використати для визначення індукованої топології на . Надалі позначаиме підпростір простору .
Якщо є неперервним то його обмеження на теж є неперервним. Якщо є неперервним то is continuous. Якщо є підпростором в то є також підпростором в з тією ж топологією. Іншими словами топологія на індуковаа топологією на є тою ж, що і топологія індукована з . Якщо є базисом топології то є базисом топології . Топологія індукована обмеженням метрики на підмножину метричного простору збігається з індукованою топологією.
Джерела Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5