Теорема Цермело — теорема теорії множин, яка стверджує, що на будь-якій множині можна ввести таке відношення порядку, що множина буде цілком упорядкованою.
Одна з найважливіших теорем у теорії множин. Названа на честь німецького математика Ернста Цермело. Теорема Цермело еквівалентна аксіомі вибору, а отже, і лемі Цорна.
Історія Георг Кантор вважав, що твердження цієї теореми є «фундаментальним принципом думки».Georg Cantor (1883), «Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten», Mathematische Annalen 21, стр. 545—591. Дійсно, будь-яку зліченну множину можна тривіально цілком упорядкувати, наприклад, перенісши порядок із множини натуральних чисел. Однак більшості математиків складно уявити повний порядок вже, наприклад, множини дійсних чисел. 1904 року повідомив, що довів, що такого впорядкування не може існувати. Через кілька тижнів Фелікс Гаусдорф виявив помилку в доведенні. Однак незабаром Ернст Цермело опублікував свою найвідомішу роботу,Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Mathematische Annalen, 1904. в якій довів, що будь-яку множину можна цілком упорядкувати. Його доведення спиралося на вперше сформульовану в цій самій роботі аксіому вибору. Викликана цим фактом дискусія спонукала Цермело згодом упритул зайнятися аксіоматизацією теорії множин, що привело до створення аксіоматики Цермело — Френкеля.
Доведення Доведення див. у статті Твердження, еквівалентні аксіомі вибору.
Див. також Цілком впорядкована множина Аксіома вибору Лема Цорна
Примітки
Література