Група класів ідеалів — абелева група, що виникає в комутативній алгебрі і алгебраїчній теорії чисел. Вона певною мірою визначає наскільки деяке кільце Дедекінда (чи, більш загально, кільце Круля) близьке до того щоб бути факторіальним. Для факторіальних кілець і тільки для них дана група є тривіальною.
Визначення Нехай — кільце Дедекінда і — його поле часток. Група класів ідеалів кільця визначається як факторгрупа
У визначенні використані позначення — група дробових ідеалів, з операцією множення
Група є вільною абелевою групою, базисом якої є прості ідеали кільця . — підгрупа головних дробових ідеалів, тобто дробових ідеалів виду
для .
Також групу класів можна визначити за допомогою відношення еквівалентності: ідеали та дедекіндового кільця є еквівалентними, якщо, для деяких виконується .
Приклади Кільця , , де ω — кубічний корінь з 1, i — квадратний корінь з −1, є факторіальним і тому їх групи класів ідеалів є тривіальними. Для кільця група класів ідеалів має два елементи.
Властивості Група класів ідеалів є тривіальною тоді і тільки тоді, коли кільце — факторіальне. Якщо — алгебраїчне числове поле, — його кільце цілих чисел, то відповідна група класів ідеалів є скінченною. Довільна абелева група є групою класів ідеалів деякого кільця Дедекінда.
Посилання Ю.Дрозд. Алгебричні числа. Конспект лекцій