Ланцюговий комплекс — основне поняття гомологічної алгебри.
Ланцюговий комплекс Ланцюговим комплексом називається послідовність модулів і гомоморфізмів , що називаються граничними операторами або диференціалами
така що . Елементи називаються n-мірними ланцюгами, елементи ядра — n-вимірними циклами, елементи образа — n-вимірними границями. З випливає, що (т.зв. напівточність). Якщо до того ж , то такий комплекс називається точним.
Ланцюгові комплекси модулів над фіксованим кільцем утворюють категорію з мофізмами , де послідовність морфізмів , така що комутує з диференціалом, тобто .
Коланцюговий комплекс Коланцюговий комплекс — поняття, двоїсте ланцюговому комплексу. Він визначається як послідовність модулів і гомоморфізмов , таких що
Коланцюговий комплекс, як і ланцюговий, є напівточною послідовністю.
Властивості і поняття, пов'язані з коланцюговими комплексами, двоїсті аналогічним поняттям і властивостям ланцюгових комплексів.
Гомології і когомології
n-вимірна група гомологій ланцюгового комплексу є його мірою точності в n-ому члені і визначається як . Для точного комплексу
Аналогічно визначається n-вимірна група когомологій коланцюгового комплексу:
Приклади
Симпліційна гомологія
Нехай маємо симпліційний комплекс K.
Визначимо Cn(K) для натурального числа n вільну абелеву групу породжену n-симплексами комплекса K і граничне відображення:
Виконується властивість ∂² = 0, отже є ланцюговим комплексом; симпліційна гомологія визначається:
Когомологія де Рама
Диференціальні k-форми на будь-якому гладкому многовиді M утворюють векторний простір, що позначається Ωk(M). Зовнішня похідна dk є відображенням з Ωk(M) в Ωk+1(M), і d 2 = 0, отже простори k-форм із зовнішньою похідною утворюють коланцюговий комплекс:
Гомологією цього комплексу є когомологія де Рама:
Гомоморфізми ланцюгових комплексів Гомоморфізмом ланцюгових комплексів і називається таке відображення що наступна діаграма є комутативною:
Гомоморфізм ланцюгових комплексів індукує гомоморфізм їх груп гомологій.
Ланцюгова гомотопія
Ланцюгова гомотопія між гомоморфізмами комплексів і — гомоморфізм ланцюгових комплексів і ступеня +1 (тобто ), для якого
Для коланцюгових комплексів відповідна комутативна діаграма має вигляд.
Див. також Ланцюг (алгебрична топологія)
Література Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — Москва: Издательство Иностранной Литературы, 1960. Маклейн С. Гомология, — Москва: Мир, 1966. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — Москва: Мир, 1976.