В математиці, càdlàg (, або англійською RCLL або ) функція або Неперервна справа функція з лівосторонніми границями (НСФзЛГ) — це функція визначена на дійсній осі (або її підмножині), всюди неперервна справа і має лівосторонні границі в кожній точці. Càdlàg функції є дуже важливими у вивченні стохастичних процесів з стрибками, на відміну від Вінерівського процесу який має неперервні траєкторії. Клас неперервних справа функцій з лівосторонніми границями (càdlàg функції) утворюють простір Скорохода. Означення

Нехай — метричний простір, і . Функція називається неперервною справа функцією з лівосторонніми границями (або càdlàg функцією) якщо, для всіх , лівостороння границя існує; і правостороння границя існує і дорівнює ƒ(t). Тобто, ƒ — неперервна справа з лівосторонніми границями.

Приклади

Всі неперервні функції є càdlàg функціями. Функції розподілу ймовірностей є càdlàg функціями за означенням. Права похідна будь-якої опуклої функції f, що визначена на відкритому інтервалі, є зростаючою càdlàg функцією.

Простір Скорохода

Множина усіх càdlàg функцій часто позначається як (або просто D) і називається Простір Скорохода на честь українського математика Анатолія Скорохода. Простору Скорохода може бути поставлена у відповідність топологія, яка дозволяє нам інтуітивно "трохи збурювати простір і час" (тоді як традиційна топологія з рівномірною збіжністю дозволяє лише "трохи збурювати простір"). Для спрощення візьмемо та — дивись у Billingsley більш загальну конструкцію.

З початку треба визначити аналог модуля неперервності, . Для будь-якого визначимо

і для визначимо càdlàg modulus як

де infimum береться по всім розподілам }, з . Таке визначення дає сенс для non-càdlàg ƒ (тоді як звичайний модуль неперевності дає сенс для розривних функцій) і можна показати, що ƒ є càdlàg тоді і тільки тоді коли .

Позначимо Λ множину усіх строго зростаючих, неперервних бієкцій з E в себе (це є "збурення часу"). Нехай

позначає однорідну норму функцій на E. Визначимо метрику Скорохода σ на D так

де є індикаторною функцією. В термінах інтуітивного "збурення" вимірює розмір "збурення в часі", а вимірює розмір "збурення в просторі".

Можна показати, що метрика Скорохода є дійсно метрикою. Топологія Σ, що генерується σ називається топологією Скорохода на D.

Властивості простору Скорохода

Узагальнення однорідної торології

Простір C неперевних функцій на E є підпростором D. Топологія Скорохода, яка зв'язується з простором C, збігається з однорідною топологією на ньому.

Повнота

Можна показати, що хоча D не є повним простором по точки зору метрики Скорохода σ, існує топологічно еквівалентна метрика σ0 з якою D є повним.Convergence of probability measures - Billingsley 1999, p. 125

Сепарабельність Якщо σ або σ0, то D є сепарабельним простором. Тоді простір Скорохода є польським простором.

Щільність простору Скорохода Застосовуючи теорему Арцела-Асколі, можна показати, що послідовність (μn)n=1,2,… ймовірнісних мір на просторі Скорохода D є щільною тоді і лише тоді, коли виконуються наступні дві умови:

та

Алгебраїчна та топологічна структура При топології Скорохода та поточковому складанні функцій D не є топологічною групою. Це видно з наступного прикладу:

Нехай одиничний интервал, а послідовність характеристичних функцій. Не дивлячись на те, що в топології Скорохода, послідовність не збігається до 0.

Див. також Неперервна функція Границя функції

Джерела