Рівняння Гельмгольца — диференціальне рівняння з частинними похідними еліптичного типу, що має вигляд: ,
де — невідома функція, — оператор Лапласа, k — параметр.
Зв'язок із хвильовим рівнянням
Рівняння Гельмгольца є наслідком хвильового рівняння: ,
якщо його розв'язок шукати у вигляді: .
При цьому .
Розв'язки Для знаходження конкретних розв'язків рівняння Гельмгольца для конкретної задачі математичної фізики потрібно доповнити граничними умовами.
Для безмежного тривимірного простору розв'язки можна записати у вигляді плоских хвиль: , де .
Для двовимірної задачі в полярній системі координат розв'язок зручно шукати у вигляді суперпозиції функцій Бесселя: .
Для тривимірного простору в сферичній системі координат розв'язки мають вигляд суперпозиції сферичних гармонік, помножених на сферичні функції Бесселя: .