Описане коло многокутника — коло, що містить всі вершини многокутника. Центром є точка (прийнято позначати O) перетину серединних перпендикулярів до сторін многокутника.
Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить на точці перетину серединних перпендикулярів його сторін. Звідси випливає, що коли навколо n-кутника побудоване описане коло, то всі серединні перпендикуляри до його сторін перетинаються в одній точці (центрі кола).
Навколо будь-якого правильного многокутника можна описати коло.
Трикутник
Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, до того ж тільки одне. Його центром буде точка перетину серединних перпендикулярів.
У гострокутного трикутника центр описаного кола лежить всередині, у тупокутного — поза трикутником, у прямокутного — на середині гіпотенузи.
Позначаємо літерою О точку перетину серединних перпендикулярів до його сторін та проведемо відрізки ОА, ОВ і ОС. Оскільки точка О рівновіддалена від вершин трикутника АВС, то ОА = OB = ОС. Тому коло з центром О радіусу ОА проходить через всі три вершини трикутника і, отже, є описаним навколо трикутника ABC.
3 4 кіл, описаних відносно серединних трикутників (утворених середніми лініями трикутника), перетинаються в одній точці всередині трикутника. Ця точка і є центром описаного кола основного трикутника. Центр описаного навколо трикутника кола служить ортоцентром трикутника з вершинами на серединах сторін даного трикутника. Ортоцентр трикутника — це точка перетину висот трикутника або їх продовжень. Відстань від вершини трикутника до ортоцентра вдвічі більше, ніж відстань від центра описаного кола до протилежної сторони. Радіус описаного кола можна знайти за формулами:
Де: — сторони трикутника, — кут, що лежить навпроти сторони , — півпериметр трикутника. — площа трикутника.
Положення центра описаного кола.
Нехай радіус-вектори вершин трикутника, — радіус-вектор центра описаного кола. Тоді
де
Рівняння описаного кола.
Нехай координати вершин трикутника в певній декартовій системі координат на площині, — координати центра описаного кола. Тоді
а рівняння описаного кола має вигляд
Для точок , що лежать всередині кола, визначник негативний, а для точок поза нею — позитивний.
Теорема про тризубець: Якщо — точка перетину бісектриси кута з описаним колом, а — центр вписаного кола то .
Формула Ейлера: Якщо — відстань між центрами вписаного і описаного кіл, а їхні радіуси дорівнюють і відповідно, то .
Чотирикутник
Вписаний простий (без самоперетинів) чотирикутник обов'язково є опуклим .
Навколо опуклого чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його внутрішніх протилежних кутів дорівнює 180 ° (π радіан).
Радіус описаного кола правильного -кутника з довжиною сторін дорівнює:
Можна описати коло навколо:
будь-якого прямокутника (окремий випадок: квадрат) будь-якої рівнобедреної трапеції
Теорема Птолемея: у чотирикутника, вписаного в коло, добуток довжин діагоналей дорівнює сумі добутків довжин пар протилежних сторін:Теорема Птолемея |AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|
Многокутник Якщо з відрізків скласти многокутник, то його площа буде максимальною, коли він вписаний.
Див. також Вписане коло Коло Трикутник Конциклічні точки
Примітки
Література Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 53-54. — ISBN 5-94057-170-0 Л. Е. Гендельштейн, А. П. Єршова, Наочний довідник з геометрії, Гімназія, 1997 — ISBN 966-562-080-0.
Посилання
Описане коло (нім.) Анімація: описане коло трикутника