Символ Шлефлі () — топологічна характеристика многогранника. У математиці символ Шлефлі застосовується для опису правильних многокутників, правильних многогранників, і n-многогранників.
Символ Шлефлі названий на честь математика XIX століття Людвіга Шлефлі, який зробив значний внесок у геометрію та інші галузі.
Побудова Символ Шлефлі правильного многокутника {p}, де p — число сторін многокутника. Отже, {3} — правильний трикутник, {4} — квадрат. Для правильних зірок число Шлефлі задається як {p/q}, де p — число сторін, а кожна q-та вершина суміжна. Слід зауважити, що p і q будуть взаємно простими числами. Наприклад, {5/2} — пентаграма.
Символ Шлефлі позначається у вигляді {p, q, r, … }. Символ Шлефлі правильного многогранника визначається по індукції таким чином. Визначимо p як число сторін 2-вимірної грані. Зафіксуємо тепер якусь вершину P многогранника Γ і розглянемо всі вершини Γ, з'єднані з нею ребром. Всі ці вершини лежать в одній гіперплощині H (ортогональної до осі, що з'єднує центр многогранника з вершиною P) і перетин Γ ∩ H многогранника Γ гіперплощиною H являє собою правильний многогранник на 1 меншої розмірності. Оскільки всі вершини Γ рівноправні, то тип цього многогранника не залежить від вибору вершини P. Визначимо тепер q як число сторін 2-вимірної грані многогранника Γ ∩ H. Продовжуючи діяти таким чином доти, поки отримуваний перетин має двовимірну грань, ми отримаємо символ Шлефлі Γ. Таким чином, символ Шлефлі n-вимірного многогранника складається з n-1 цілих чисел ≥ 3.
Можливе інше визначення для 3-вимірних многогранників: многогранник, який має q p-сторонніх граней при вершині представляється як {p, q}. Наприклад, куб має 3 квадрати при вершині і представляється як {4,3}.
Правильний 4-політоп (4-многогранник) з r правильними {p, q}-многогранними комірками при ребрі представляється як {p, q,r}. І далі застосовуємо індукцію для більшої кількості вимірів.
Приклади
Розмірність простору Символ Шлефлі Многогранник3 {3,3} Тетраедр3 {4,3} Куб3 {3,4} Октаедр3 {3,5} Ікосаедр3 {5,3} Додекаедр4 {3,3,3} 5-комірник (4-симплекс)4 {4,3,3} 8-комірник (4-куб)4 {3,3,4} 16-комірник4 {3,4,3} 24-комірник4 {5,3,3} 120-комірник4 {3,3,5} 600-комірник≥ 5 {3, …, 3} n-симплекс≥ 5 {3, …, 3,4} Гіпероктаедр≥ 5 {4,3, …, 3} Гіперкуб
Див. також Характеристика Ейлера Правильні многогранники
Посилання
Микола Вавилов Конкретна теорія груп First draught