У математиці, Інтеграл Борвейна — інтеграл незвичайні властивості якого були вперше представлені математиками та Джонатаном Борвейном в 2001 році. Інтеграл Борвейна включає в себе добутки функцій .Функція sinc визначається як де та .
Ці інтеграли чудові тим, що демонструють явні закономірності, які в кінцевому підсумку руйнуються. Наведемо наступний приклад:
Ця закономірність продовжується до
Але на наступному кроці очевидна закономірність не спрацьовує:
У загальному випадку, подібні інтеграли набувають значення ,якщо числа замінюються на додатні дійсні числа, такі, що сума їх обернених значень менша за .
У наведеному вище прикладі, але
З включенням додаткового множника закономірність витримує більш довший ряд:
але
У цьому випадку, але
Причина порушення закономірності та розширення ряду продемонстрована за допомогою інтуїтивного математичного пояснення. Зокрема, переформулювання у термінах випадкових блукань з аргументом причинності проливає світло на порушення закономірності та відкриває шлях для ряду узагальнень.
Загальна формула Для заданої послідовності ненульових дійсних чисел , , можна представити загальну формулу для інтеграла
Для виведення формули потрібно розглянути суми, що включають . Зокрема, якщо набір з чисел, де кожне , то тоді запишемо , що є певним зкакозмінним рядом декількох перших , та покладемо , де . У цих позначеннях значення вищевказаного інтеграла дорівнює
де
У випадку, якщо , то .
Крім того, якщо існує що для кожного виконуються умови та , тобто - перше значення за якого часткова сума перших елементів послідовності перевищує , тоді для кожного але
Розглянемо випадок коли .
Якщо ,то та але
Оскільки , то отримуємо формулу
яка вірна при виключенні будь-якого з множників, але
що дорівнює значенню, заданому вище.
Література
Посилання Patterns That Eventually Fail , 20 September 2018 Breakdown , 2 February 2012 Illusive patterns in math explained by ideas in physics , 19 July 2019 (video) When random walkers help solving intriguing integrals 19 July 2019