Зада́ча трьох тіл — класична задача небесної механіки, у якій потрібно знайти траєкторії трьох тіл, що притягуються за законом всесвітнього тяжіння. Окремий випадок задачі N тіл.
Формулювання Уперше задачу трьох тіл сформулював Ісаак Ньютон 1687 року в «Математичних началах натуральної філософії» () як задачу про рух Місяця в гравітаційному полі Сонця й Землі. Класичного вигляду задача набула в працях французького математика Жана д'Аламбера () 1747 року.
У загальнішому випадку йдеться про будь-які три об'єкти, що перебувають у центральному потенціальному полі одне одного (гравітаційному, електромагнітному тощо).
Формалізація
У будь-який момент часу рух трьох матеріальних точок з масами та координатами задовольняє системі звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:
,
,
,
де — гравітаційна стала. Задача полягає у віднаходженні координат трьох матеріальних точок з відомими початковими масами, координатами й швидкостями в будь-який момент часу.
Історія розв'язання У загальному випадку точного розв'язку за допомогою інтегралів не існує. Проблема полягає в принциповій неможливості розв'язати диференціальне рівняння 6-го порядку з нерозділеними змінними.
Для окремих випадків знайдено точний розв'язок: Леонардом Ейлером (для колінеарного розташування точок) та Жозефом-Луї Лагранжем (для так званих трикутних точок Лагранжа).
1912 року фінський математик Карл Зундман знайшов аналітичний розв'язок загальної задачі у вигляді збіжного ряду . Однак цей розв'язок непрактичний, оскільки ряд збігається надзвичайно повільно (для застосування в астрономії необхідно обчислити понад 10 членів ряду ).
Моделюванням задачі за допомогою чисельних методів знайдено деякі інші часткові розв'язки.
Див. також Задача двох тіл Гравітаційна задача N тіл Гравітаційний маневр
Примітки
Література Ю. В. Александров. Небесна Механіка (Глава VI), Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, 2003.
Juhan Frank. Three Body Problem , PHYS 7221, Louisiana State University, 2006.
Посилання Alain Chenciner, Three body problem , Scholarpedia. Shannon Pauls, 5 Gifs of n-body Orbits (Animation) , Scientific American, 30/07/2013.
Science Magazine. Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem .