Дека́ртів листок — плоска крива третього порядку, що в прямокутній системі описується рівнянням:
. Параметр визначається як діагональ квадрата, сторона якого дорівнює найбільшій хорді петлі.
Історична довідка Вперше в історії математики крива, що пізніше отримала назву «декартів листок», визначена у листі Декарта до Ферма у 1638 році як крива, для якої сума об'ємів кубів, побудованих на абсцисі і ординаті кожної точки, дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на абсцисі, ординаті і деякій сталій. Форма кривої встановлюється вперше Жилем Робервалем, котрий знайшов вузлову точку кривої, однак у його подачі крива складається лише з петлі. Побудувавши цю криву у чотирьох квадрантах, він отримав фігуру, що нагадує квітку з чотирма пелюстками. Однак, назва кривої «пелюстка жасмину» () не закріпилась. Повну форму кривої з наявністю асимптоти було визначено пізніше (1692) Гюйгенсом і Йоганном Бернуллі. Назва «декартів листок» стала вживатись лише з початку 18 століття на пропозицію д'Аламбера.
Рівняння В прямокутній системі за визначенням:
В полярній системі: .
Параметричне рівняння в прямокутній системі за умови запишеться у вигляді: , де .
Часто розглядають повернуту на 135° криву. Її рівняння мають такий вигляд: В прямокутній системі: , де
У параметричній формі:
В полярних координатах:
Властивості Пряма — вісь симетрії, її рівняння: . Точка A називається вершиною, її координати . Для обох гілок існує асимптота , її рівняння: . Площа області між дугами і . Площа області між асимптотою і кривою дорівнює площі петлі . Об'єм тіла, утвореного при обертанні дуги навколо осі абсцис .
Використання Відому популярність для вибору траєкторій руху обробного інструменту при високошвидкісному фрезеруванні (HSM) набули траєкторії типу «петля». Застосування такої стратегії при обході особливих точок в контурному фрезеруванні вимагає її трансформації у криві, які можуть виконувати спряження. І тут часто використовується траєкторія у формі декартового листкаПетраков Ю. В., Скрипник Т. М. Аналіз технологічних траєкторій при контурному фрезеруванні //Процеси механічної обробки в машинобудуванні. Вип. 11, 2011. С. 195-204..
Див. також Овал Декарта Трисектриса Маклорена
Примітки
Джерела
Махомета Т. М. Історія розвитку вчення про лінії та поверхні в курсі аналітичної геометрії // Didactics of mathematics: Problems and Investigations. – Issue # 35. – 2011. C. 78-82 Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. Справочное руководство. М.: Физматгиз, 1960. 293 с.
Richard L. Amoroso Fe, Fi, Fo, Folium: A Discourse on Descartes’ Mathematical Curiosity