Нехай A={a1,a2,a3}, B={b1,b2}, R={(a1,b1),(a2,b2),(a3,b1)}. Застосовуючи природну нумерацію рядків та стовбців, отримуємо: , Тобто R-1={(b1,a1),(b2,a2),(b1,a3)}. Композиція відношень: визначається для відношень R:A→B та S:B→C, як відношення R о S:A→C, таке, що: a(R о S)c рівносильно, що існує b, що належить B: aRb ^ bSc. Зауважимо, що для запису композиції функцій зручним та загальноприйнятим є зворотний запис, що виглядає так: ((g о f(x))=g(f(x))), однак для композиції відношень часто використовують як прямий, так і зворотній запис. Для скінченних множин А, В та С з невеликою кількістю елементів композицію відношень зручно обчислювати за допомогою стрілкових діаграм.
Властивості Ядро відношення R симетричне: a (R о R−1) b рівносильно існує c: (a R c) ^ (c R−1 b) рівносильно існує c: (b R c) ^ (c R−1 a) рівносильно b (R о R−1 ) a (R−1)-1 = R (R о S) о T = R о (S о T) (R о S)−1 = (S −1) о (R −1) (R U S)−1 = (R−1) U (S−1) (R U S) −1 = (R−1) U (S−1)
Слід зазначити, що операція композиції відношень може бути і невизначеною, якщо в множині B для заданих елементів а із A та c із C не існує відповідного елемента b. Але якщо А = В = С, то ця операція завжди визначена.
Нехай R – відношення на множині A. Ступенем відношення R на множині A є його композиція із самим собою. Позначається: Rn = R◦…(n разів)… ◦R. Відповідно, R0 = I, R1 = R, R2 = R◦R і взагалі Rn = Rn-1◦R.
Якщо R, R1, R2 – бінарні відношення, задані на множині A, то: (R1∪R2) ◦R = R1◦R ∪ R2◦R; R1⊆R2 ⇒ R1◦R ⊆ R2◦R. (R−1)−1 = R; R⊆R1 ⇒ R−1⊆R1−1. (R1◦R2)−1 = (R2−1) ◦ (R1−1). (R1∩R2)−1 = (R1−1) ∩ (R2−1). (R◦R1) ◦ R2 = R ◦ (R1◦R2).
Див. також Бінарне відношення Теорія множин
Джерела