Симедіана — чевіана трикутника, промінь якої симетричний променю медіани щодо бісектриси внутрішнього кута, проведеної з тієї ж вершини.
Тобто симедіана трикутника є відрізком, що ізогонально спряжений до його медіани.
Симедіана рівнобедреного трикутника, що проведена до його основи, збігається з його медіаною, бісектрисою та висотою.
Симедіана прямокутного трикутника, що проведена з вершини прямого кута на його гіпотенузу, збігається з його висотою.
Властивості Довжину симедіани можна обрахувати за формулою:
де — сторона трикутника, протилежна вершині , на яку проведено симедіану; — сторони трикутника, що знаходяться обабіч симедіани.
Відрізки, на які симедіана ділить протилежну сторону, пропорційні квадратам прилеглих сторін. Симедіана трикутника є геометричним місцем точок, для яких відстані до сторін трикутника пропорційні довжинам цих сторін. Симедіани трикутника перетинаються в одній точці, яка називається точкою Лемуана і позначається K або L . Сума квадратів відстаней від точки на площині до сторін трикутника мінімальна, коли ця точка є точкою Лемуана. Відстані від точки Лемуана до сторін трикутника пропорційні довжинам сторін. Єдина точка, яка є центроїдом свого педального трикутника. Продовження симедіан проходять через відповідні вершини тангенціального трикутника. Антипаралелі трикутника діляться навпіл відповідними симедіанами. Антипаралелі, що проведені через точку основи симедіани, рівні. Більш того, антипаралелі, що проходять через довільну точку симедіани, також рівні. Антипаралелі, що проходять через точку Лемуана (точку перетину симедіан), рівні і в точці перетину діляться навпіл. Дотичні до описаного кола трикутника в двох його вершинах, перетинаються на симедіані, проведеної з третьої вершини.
Зовнішні симедіани трикутника Відрізок дотичної до описаного кола трикутника, що проведена в його вершині до її точки перетину з протилежною стороною трикутника, називають зовнішньою симедіаною трикутника.
Її довжину можна обрахувати за формулою:
Примітки
Джерела
Посилання
Symmedian and Antiparallel на сайті cut-the-knot Symmedian and 2 Antiparallels на сайті cut-the-knot Symmedian and the Tangents на сайті cut-the-knot An interactive Java applet for the symmedian point Isogons and Isogonic Symmetry