Пра́ва поря́дкова тополо́гія — топологія на лінійно впорядкованій множині , породжена множинами вигляду = { ∈ | > }, ∈ .
Визначення
Якщо — лінійно впорядкована множина, тоді топологія, породжена базисними множинами вигляду , називається правою порядковою топологією на . Ліва порядкова топологія визначається аналогічним чином, використовуючи множини .
Властивості
Для будь-якої точки кожен елемент є граничною точкою для , звідки замикання будь-якої непорожньої відкритої множини є весь простір , і кожна права порядкова топологія є слабко зліченно компактною. є гіперзв’язним і ультразв’язним, а отже лінійно зв’язним, локально зв’язним та псевдокомпактним. локально компактний, але він є компактним тоді і тільки тоді, коли він містить перший елемент. Але оскільки замикання будь-якої відкритої множини є весь простір, то є сильно локально компактним тоді і тільки тоді, коли компактний. Якщо < , тоді є відкритим околом , який не містить . Звідси є -простором, але не -простором. Таким чином, він не є , чи -простором. Але є і -простором. не є досконалим -простором, оскільки єдина відкрита множина, яка містить будь-яку замкнену множину, є . Особливим випадком є права порядкова топологія на множині всіх дійсних чисел. Позначимо цей простір . Тоді задовольняє другу аксіому зліченності, оскільки є зліченною базою для . Таким чином, ліндельофів, і тому не зліченно компактний, оскільки не є компактним. Але оскільки є і локально компактним, і ліндельофовим, він -компактний. Кожна множина є ніде не щільною в , тому , який дорівнює , є простором першої категорії. Але кожна є щільною в собі. Відкрите покриття простору , не має точково скінченного вписаного покриття, тому не є зліченно метакомпактним. Будь-яка скінченна множина в має безліч граничних точок, але не -граничних точок (точок накопичення). Таким чином, якщо ми додамо до скінченної множини її -граничні точки, ми не отримаємо замкнену множину.
Див. також Дискретна топологія Антидискретна топологія Топологія перекривних інтервалів
Література
(приклади 49, 50)