Телескопічний ряд в математиці — нескінченний ряд, суму якого можна легко знайти, виходячи з того, що при розкритті дужок майже всі доданки взаємознищуються. Назва була дана по аналогії зі стволом телескопа, який може зменшувати свою довжину, склавшись кілька разів.
Найвідоміший приклад такого ряду — сума , яка спрощується наступним чином:
Суть телескопічних сум полягає в тому, що кожен доданок ряду представдяється у вигляді різниці і тому часткова сума ряду спрощується: .
Аналогічно можна уявити собі «телескопічний» добуток, тобто нескінченний добуток вигляду: .
При сумуванні умовно збіжних нескінченних рядів потрібно звертати увагу на те, що перегрупування доданків може призвести до зміни результату (див. Теорема Рімана про умовно збіжний ряд). Наприклад, «парадокс» з рядом Гранді:
Цього можна уникнути, якщо завжди розглядати суму перших n членів, а потім знаходити границю при .
Приклади Багато тригонометричних функцій дозволяють представлення у вигляді різниці, що дозволяє організувати взаємознищення відповідних доданків
часткова сума геометричної прогресії:
іноді доводиться застосовувати «телескопічне» перетворення два рази: . Другий метод обчислення цієї суми — представити доданки у вигляді похідної від геометричної прогресії: .
Див. також Порядкова статистика Пуассонівський процес Розподіл Пуассона Функція маси імовірності