Підстановка тангенса півкута або універсальна тригонометрична підстановка () — підстановка використовна для віднайдення первісної та визначеного інтеграла раціональних функцій від тригонометричних функцій.
Підстановка
Почавши з задачі знаходження первісної раціональної функції від синуса і косинуса і замінивши , і диференціал відповідно раціональними функціями від змінної та добутком функції від з диференціалом , отже,James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, Brooks/Cole, 1991, page 439
Отримання
Нехай
Використовуючи тригонометричні тотожності,
Диференціал можна обчислити так:
Приклади
Перший приклад
Другий приклад: визначений інтеграл
У першому рядку проводять не просто підстановку для обох границь інтегрування. Тут необхідно взяти до уваги особливу точку (у цьому випадку, вертикальну асимптоту) в .
Геометрія
Тоді як x змінюється, точка, раз за разом проходить одиничне коло з центром у . Точка
тільки один раз проходить коло у міру того як рухається від до , і ніколи не досягає точки , до якої наближається як до границі коли наближається до . Коли рухається між і , точка визначена від покриває частину кола в третьому квадранті, від до .
Ось інша геометрична точка зору. Намалюємо одиничне коло, і нехай P буде точкою . Лінія через (окрім вертикальної лінії) визначена її нахилом. Далі більше, кожна така лінія (окрім вертикальної) перетинає коло саме у двох точках, одна з яких . Це визначає функцію від точки на колі в нахил. Тригонометричні функції визначають функцію від кута в точку на одиничному колі, тепер, сполучаючи ці дві функції, ми маємо функцію від кута в нахил.
Примітки