У теорії оцінювання розши́рений фільтр Ка́лмана (РФК, ) — це нелінійна версія фільтра Калмана, яка лінеаризується навколо оцінки поточних середнього значення та коваріації. У випадку добре визначених моделей переходу в теорії нелінійного , навігаційних системах і GPS РФК вважали стандартом де-факто.
Історія Праці, що заклали математичні основи фільтрів калманового типу, опублікували в 1959—1961 роках. Названий на честь математика, інженера та винахідника Рудольфа Е. Калмана, фільтр Калмана є оптимальним лінійним оцінювачем для лінійних моделей систем з адитивним незалежним білим шумом як у системі переходу, так і в системі вимірювання. На жаль, в інженерії більшість систем нелінійні, тож було зроблено спроби застосувати цей метод фільтрування до нелінійних систем; більшість цієї роботи було виконано в дослідницькому центрі Еймса НАСА. РФК запозичив методи математичного аналізу, а саме багатовимірні розклади в ряди Тейлора, щоби лінеаризувати модель навколо робочої точки. Якщо модель системи (як описано нижче) недостатньо добре відома або неточна, то для оцінювання застосовують методи Монте-Карло, особливо . Методи Монте-Карло передують появі РФК, але є обчислювально витратнішими для будь-якого простору станів помірної вимірності.
Формулювання У розширеному фільтрі Калмана моделі переходу стану та спостереження не мусять бути лінійними функціями стану, а натомість можуть бути диференційовними функціями.
Тут wk та vk — це шуми процесу та спостереження, які обидва вважають багатовимірними ґауссовими шумами з нульовим середнім і коваріаціями Qk та Rk відповідно. uk — вектор керування.
Функцію f можливо використовувати для обчислення передбачуваного стану з попередньої оцінки, й аналогічно функцію h можливо використовувати для обчислення передбачуваного вимірювання з передбаченого стану. Проте застосовувати f та h безпосередньо до коваріації неможливо. Натомість обчислюють матрицю частинних похідних (матрицю Якобі).
На кожному такті обчислюють матрицю Якобі для поточних передбачених станів. Ці матриці можливо використовувати в рівняннях фільтра Калмана. Цей процес по суті лінеаризує нелінійну функцію навколо поточної оцінки.
Щодо позначень див. статтю про фільтр Калмана.
Рівняння передбачення та уточнення для дискретного часу
Позначення подає оцінку на такті n з урахуванням спостережень по такт включно.
Передбачення Передбачена оцінка стану Коваріація передбаченої оцінки
Уточнення Нововведення, або відхилення вимірювання Коваріація нововведення (або відхилення) Близький до оптимального передавальний коефіцієнт Калмана Уточнена оцінка стану Коваріація уточненої оцінки
де матриці переходу стану та спостереження визначено як наступні матриці Якобі
Недоліки та альтернативи
На відміну від свого лінійного відповідника, розширений фільтр Калмана загалом не є оптимальним оцінювачем (він оптимальний, якщо моделі вимірювання та переходу стану обидві лінійні, бо в такому разі розширений фільтр Калмана тотожний звичайному). Крім того, якщо початкова оцінка стану хибна або якщо процес змодельовано неправильно, через свою лінеаризацію цей фільтр може швидко розбігатися. Інша проблема розширеного фільтра Калмана полягає в тому, що оцінювана коваріаційна матриця має схильність недооцінювати справжню коваріаційну матрицю, а отже ризикує стати неспроможною в статистичному сенсі без додавання «стабілізувального шуму».
Загальніше, слід враховувати нескінченновимірну природу та недостатність простого оцінювача середнього й дисперсійно-коваріаційної матриці для повного подання оптимального фільтра. Слід також зазначити, що розширений фільтр Калмана може давати низьку якість роботи навіть для дуже простих одновимірних систем, як-от кубічного давача, де оптимальний фільтр може бути бімодальним і як такий не може бути ефективно поданий єдиним оцінювачем середнього та дисперсії, маючи багату структуру; або подібно для квадратичного давача. У таких випадках як альтернативу досліджували , які також застосовували до навігації. У цьому випадку можливо розглядати й інші загальні методи нелінійного фільтрування, як-от повні .
Попри це, розширений фільтр Калмана може давати прийнятну якість роботи, і певно є стандартом де-факто в навігаційних системах і GPS.
Узагальнення
Неперервночасовий розширений фільтр Калмана Модель
Початковий стан
Передбачення—уточнення
На відміну від дискретночасового розширеного фільтра Калмана (), в неперервночасовому розширеному фільтрі Калмана () кроки передбачення та уточнення з'єднані.
Дискретночасові вимірювання Більшість фізичних систем подають як неперервночасові моделі, тоді як для оцінювання стану цифровим обробником виконують часті дискретночасові вимірювання. Отже, модель системи та модель вимірювання задають як
де .
Початковий стан
Передбачення
де
Уточнення
де
Рівняння уточнення тотожні рівнянням дискретночасового розширеного фільтра Калмана.
Розширені фільтри Калмана вищих порядків
Наведена вище рекурсія є розширеним фільтром Калмана (РФК) першого порядку. РФК вищих порядків можливо отримувати, зберігаючи більше членів розкладів у ряд Тейлора. Наприклад, було описано РФК другого та третього порядків. Проте РФК вищих порядків зазвичай забезпечують переваги в якості роботи лише за малого шуму вимірювання.
Формулювання та рівняння для неадитивного шуму Типове формулювання РФК виходить з адитивності шуму процесу та вимірювання. Проте це припущення для втілення РФК не обов'язкове. Розгляньмо натомість загальнішу систему вигляду
Тут wk та vk — шуми процесу та спостереження, які обидва вважають багатовимірними ґауссовими шумами з нульовим середнім і коваріаціями Qk та Rk відповідно. Тоді рівняння передбачення коваріації та нововведення набувають вигляду
де матриці та є матрицями Якобі:
Передбачену оцінку стану та відхилення вимірювання обчислюють за середнього членів шуму процесу та вимірювання, яке вважають нульовим. В іншому формулювання з неадитивним шумом втілюють так само, як і РФК з адитивним шумом.
Неявний розширений фільтр Калмана
У певних випадках модель спостереження нелінійної системи неможливо розв'язати відносно , але можливо виразити неявною функцією:
де — зашумлені спостереження.
Звичайний розширений фільтр Калмана можливо застосувати з такими підстановками:
де
Тут початкову коваріаційну матрицю спостереження перетворюють, а нововведення визначають інакше. Матрицю Якобі визначають як і раніше, але з неявної моделі спостереження .
Видозміни та альтернативи
Ітерований розширений фільтр Калмана
Ітерований розширений фільтр Калмана () поліпшує лінеаризацію розширеного фільтра Калмана, рекурсивно змінюючи центральну точку розкладу в ряд Тейлора. Це зменшує похибку лінеаризації ціною підвищених обчислювальних вимог.
Робастний розширений фільтр Калмана
Робастний розширений фільтр Калмана () отримують, лінеаризуючи модель сигналу навколо поточної оцінки стану та використовуючи лінійний фільтр Калмана для передбачення наступної оцінки. Він є намаганням створити локально оптимальний фільтр, проте він не обов'язково стійкий, бо розв'язки відповідного рівняння Ріккаті не гарантовано додатно визначені. Один зі способів поліпшити якість роботи — методика фіктивного алгебричного рівняння Ріккаті, яка обмінює оптимальність на стійкість. Звичну структуру розширеного фільтра Калмана зберігають, але стійкості досягають вибором для конструювання передавального коефіцієнта додатно визначеного розв'язку фіктивного .
Інший спосіб поліпшити якість роботи розширеного фільтра Калмана — застосувати результати H-нескінченності з робастного керування. Робастні фільтри отримують додаванням додатно визначеного члена до рівняння Ріккаті конструкції. Додатковий член параметризують скаляром, який конструктор може налаштовувати, щоби досягти між критеріями якості за середньоквадратичною та піковою похибками.
Інваріантний розширений фільтр Калмана
Інваріантний розширений фільтр Калмана (ІРФК, ) — це видозмінена версія РФК для нелінійних систем, що мають симетрії (або інваріантності, ). Він поєднує переваги як РФК, так і нещодавно запропонованих . Замість використання лінійного члена виправлення на основі лінійної похибки виходу інваріантний РФК використовує геометрично пристосований член виправлення на основі інваріантної похибки виходу; так само матрицю передавального коефіцієнта уточнюють не з лінійної, а з інваріантної похибки стану. Головна перевага полягає в тому, що рівняння передавального коефіцієнта та коваріації збігаються до сталих значень на значно більшій множині траєкторій, ніж точки рівноваги, як це має місце для РФК, що дає кращу збіжність оцінювання.
Сигма-точкові фільтри Калмана Нелінійним фільтром Калмана, який виглядає перспективним як поліпшення порівняно з РФК, є сигма-точковий фільтр Калмана (СФК, , беззапаховий фільтр Калмана). В СФК густину ймовірності наближують детермінованим вибиранням точок, які подають розподіл в основі як ґауссів. Нелінійне перетворення цих точок призначене бути оцінкою апостеріорного розподілу, моменти якого потім можливо вивести з перетворених зразків. Це перетворення відоме як сигма-точкове (або беззапахове) перетворення. СФК властиво бути робастнішим і точнішим за РФК в оцінюванні похибки в усіх напрямах.
Праця 2012 року містить результати моделювання, які вказують, що деякі опубліковані варіанти СФК не досягають точності розширеного фільтра Калмана другого порядку (РФКДП, ), відомого також як доповнений фільтр Калмана (). РФКДП передує СФК приблизно на 35 років, а динаміку моментів уперше описали Басс зі співавт. Складність у втіленні будь-яких фільтрів калманового типу для нелінійних переходів стану походить із питань числової стійкості, потрібної для точності, проте СФК не уникає цієї складності, оскільки також використовує лінеаризацію, а саме лінійну регресію. Проблеми зі стійкістю СФК загалом походять із числового наближення квадратного кореня з коваріаційної матриці, тоді як питання стійкості як для РФК, так і для РФКДП походять із можливих проблем у наближенні рядом Тейлора вздовж траєкторії.
Ансамблевий фільтр Калмана СФК насправді передував ансамблевий фільтр Калмана (), винайдений Евенсеном 1994 року. Він має перевагу над СФК у тому, що кількість використовуваних членів ансамблю може бути набагато меншою за вимірність стану, що уможливлює застосування до систем дуже високої вимірності, як-от прогнозування погоди, з розмірами простору станів у мільярд і більше.
Нечіткий фільтр Калмана Нечіткий фільтр Калмана () з новим методом подання розподілів можливості нещодавно запропонували для заміни розподілів імовірності розподілами можливості, щоби отримати справжній можливісний фільтр, який уможливлює використання несиметричних шумів процесу та спостереження, а також вищих неточностей в моделях як процесу, так і спостереження.
Див. також Фільтр Калмана Ансамблевий фільтр Калмана Швидкий фільтр Калмана Інваріантний розширений фільтр Калмана
Сигма-точковий фільтр Калмана
Примітки
Література
Посилання