Многогранник (точніше — многогранна поверхня) називається зги́наною, якщо її просторову форму можна змінити такою безперервною в часі деформацією, за якої кожна грань не змінює своїх розмірів (тобто рухається як тверде тіло), а деформація здійснюється тільки за рахунок безперервної зміни двогранних кутів. Така деформація називається безперервним згинанням многогранника.

Властивості та приклади У теорії зги́наних многогранників відомо чимало красивих і нетривіальних тверджень. Нижче наведено найважливіші зі встановлених на сьогодні фактів, дотримуючись хронологічного порядку: Ніякий опуклий многогранник не може згинатись. Це негайно випливає з теореми Коші про однозначну визначеність опуклого многогранника, доведену в 1813 році. Перші приклади згинаних многогранників були побудовані бельгійським інженером і математиком в 1897 роціR. Bricard. Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé . 1897. 3. P. 113—150 (див. також англійський переклад ).. Зараз їх називають . Вони не тільки неопуклі, але й мають самоперетини, що не дозволяє побудувати їх картонну модель, що рухається. У 1976 році американський математик Роберт Коннеллі вперше побудував згинаний многогранник без самоперетинівR. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces, 52 (1979), no. 5, 275—283.. З усіх відомих на сьогоднішній день згинаних многогранників без самоперетинів найменше число вершин (дев'ять) має многогранник, побудований німецьким математиком Клаусом Штеффеном (), Геометрия. М.: Мир, 1984. Т. 1. С. 516—517.. Відомі приклади згинаних многогранників, які є реалізаціями тораВ. А. Александров, Новий приклад згинаного многогранника, Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, No 6. С. 1215—1224. або пляшки Клейна, або взагалі двовимірної поверхні будь-якого топологічного роду. З формули Шлефлі випливає, що будь згинаний многогранник в процесі згинання зберігає так звану інтегральну середню кривину, тобто число, рівне , де  — довжина ребра ,  — величина внутрішнього двогранного кута при ребрі , а сума поширюється на всі ребра многогранника. Див такожR. Alexander, Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I, Trans. Amer. Math. Soc. 1985. Vol. 288, no. 2, 661—678.. Теорема СабітоваІ. Х. Сабітов, Обсяг многогранника як функція довжин його ребер, Фундам. прикл. матем. 1996. Т. 2, № 1. С. 305—307.: Будь-який згинаний многогранник в процесі згинання зберігає свій об'єм, тобто він буде згинатися навіть якщо його заповнити нестисливої ​​рідиною. У 2012 році, А. Гайфулліним доведено багатовимірний аналог теореми Сабітова — будь-який многогранник, що згинається, в розмірності в процесі згинання зберігає свій об'єм.

Гіпотези Незважаючи на значний прогрес, в теорії згинаних многогранників залишається багато невирішених проблем. Ось кілька відкритих гіпотез: многогранник Штеффена має найменше число вершин серед усіх згинаних многогранників, що не мають самоперетинівИ. Г. Максимов, Неизгибаемые многогранники с малым количеством вершин , Фундам. прикл. матем. 2006. Т. 12, No. 1. С. 143—165.; Якщо один многогранник, який не має самоперетинів, отриманий з іншого многогранника, який також не має самоперетинів, безперервним згинанням, то ці многогранники рівноскладені, тобто перший можна розбити на скінченне число тетраедрів, кожен з цих тетраедрів незалежно від інших можна пересунути в просторі і отримати розбиття другого многогранника Див. с. 231 книги под ред. А. Н. Колмогорова і С. П. Новикова: Исследования по метрической теории поверхностей. М.: Мир. 1980. На англійський мові ця гіпотеза була уперше опублікована у статті R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces, Math. Mag. 1979. Vol. 52. P. 275—283. .

Узагальнення Все сказане вище відносилося до многогранників в тривимірному евклідовому просторі. Однак дане вище визначення згинаного многогранника можна застосувати і до багатовимірних просторів і до неевклідових просторів, таких як сферичний простір і гіперболічний простір. Для них також відомі як нетривіальні теореми, так і відкриті запитання. Наприклад: Доведено, що в чотиривимірному евклідовому просторі, гіперболічному просторі розмірності 3 та 4, а також у сферичному просторі розмірності 3 та 4 є згинані многогранникиH. Stachel, Flexible octahedra in the hyperbolic space, у книзі под ред. A. Prékopa: Non-Euclidean geometries. János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6—12, 2002. New York, NY: Springer. Mathematics and its Applications 581, 209—225 (2006)., в той час як існування згинаних многогранників в евклідових просторах розмірності 5 і вище залишається відкритим питанням ; Доведено, що будь-який згинаний многогранник в евклідовому просторі розмірності 3 і вище зберігає свою інтегральну середню кривину в процесі згинання, але невідомо чи всякий згинаний многогранник в евклідовому просторі розмірності 4 і вище зберігає свій об'єм в процесі згинання; Доведено, що в тривимірному сферичному просторі існує згинаний многогранник, обсяг якого непостійний у процесі згинанняV. Alexandrov, An example of a flexible polyhedron with nonconstant volume in the spherical space, Beitr. Algebra Geom. 38, No.1, 11—18 (1997). ISSN 0138-4821., але не відомо чи обов'язково зберігається обсяг згинаного многогранника в тривимірному гіперболічному просторі.

Зроби сам Зробити модель згинаного многогранника Штеффена зовсім не важко. Опишемо це процес крок за кроком. Збережіть файл з розгорткою многогранника Штеффена з наведеної вище «галереї зображень». Збільшите розгортку в 2-3 рази і роздрукуйте його на принтері (при цьому бажано використовувати щільний папір або напівкартон). Виріжте розгортку по контуру, що складається з червоних, синіх і чорних (суцільних і пунктирних) відрізків. Кілька разів перегніть папір по суцільним і пунктирним відрізкам, що залишилися на розгортці. Виконуючи наступні дії слід надавати поверхні таку форму, щоб суцільні відрізки були «гірськими хребтами» (тобто виступали з многогранника назовні), а пунктирні відрізки були «долинами» (тобто вдавалися б всередину многогранника). Зігніть поверхню в просторі і склейте між собою кожні два чорних відрізка, з'єднаних на розгортці зеленої дугою кола. Склейте між собою два синіх відрізка. Склейте між собою два червоних відрізка. Модель многогранника Штеффена готова.

Популярна література В. А. Александров, Изгибаемые многогранные поверхности , Соросовский образовательный журнал. 1997. No. 5. С. 112—117. Ця ж стаття перевидана в книзі під редакцією В. Н. Сойфера и Ю. П. Соловьёва: Современное естествознание. Энциклопедия. Т. 3: Математика и механика М.: Наука, М.: Флинта, 2000. ISBN 5-02-004299-4. М. Берже, Геометрія. М.: Мир, 1984. Т. 1. С. 516—517. В. А. Залгаллер, Непрерывно изгибаемый многогранник , Квант. 1978. No. 9. С. 13—19. А. И. Медяник, Модель многогранника Коннелли , Квант. 1979. No. 7. С. 39.

Наукова література В. А. Александров, Новый пример изгибаемого многогранника, Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, No 6. С. 1215—1224. , Згинні поліедральні сфери в , по Роберту Коннеллі, в кн. під ред. А. М. Колмогорова і С. П. Новикова: Исследования по метрической теории поверхностей. М.: Мир. 1980. С. 210—227. P. Коннеллі, Про один підхід до проблеми незгинності. Там же. С. 164—209. Р. Коннеллі, Деякі припущення і невирішені питання в теорії згинань. Там же. С. 228—238. И. Г. Максимов, Неизгибаемые многогранники с малым количеством вершин , Фундам. прикл. матем. 2006. Т. 12, No. 1. С. 143—165. С. Н. Михалёв, Некоторые необходимые метрические условия изгибаемости подвесок, Вестник МГУ, Сер. I, 2001, No. 3, 15—21. И. Х. Сабитов, Объём многогранника как функция его метрики , Фундам. прикл. матем. 1996. Т. 2, No. 4. С. 1235—1246. И. Х. Сабитов, Обобщённая формула Герона — Тарталья и некоторые её следствия, Матем. сб. 1998. Т. 189, No. 10. С. 105—134.

Примітки