Астро́їда ( — зоря і  — вид) — плоска алгебрична крива, що утворена фіксованою точкою М кола, яке котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого нерухомого кола вчетверо більшого радіуса.

Рухоме коло (з радіусом ) називається твірним, нерухоме коло (з радіусом ) — напрямним.

Астроїда є гіпоциклоїдою з параметром , тобто з чотирма каспами; розміри твірного та напрямного кіл: . Також, астроїда є гіпоциклоїдою з розмірами напрямного та твірного кіл: .

Початковою точкою астроїди (як і будь-якої гіпоциклоїди) називають таку її точку , що лежить на прямій, яка проходить через центр рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від , що і точка опори.

Початкові точки є каспами (простими точками звороту) астроїди. Початкові точки лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.

Вершиною астроїди (як і будь-якої гіпоциклоїди) називають таку її точку , що лежить на прямій, яка проходить через центр рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від . Тобто вершина астроїди знаходиться в середині арки астроїди; астроїда має чотири вершини.

Криву вперше вивчав Йоганн Бернуллі в 1691 році, також про неї згадується в листуванні Лейбніца 1715 року, та в працях Даламбера 1748 року. Назву "Astrois" кривій дав Йозеф Йоганн Літтров в 1838 році..

Рівняння кривої Нехай радіус напрямного (нерухомого) кола дорівнює , а радіус твірного (рухомого) кола дорівнює . Тоді: Рівняння астроїди в декартовій системі координат в неявному виді:

Також: Виведення цього рівняння наведено http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf

При цьому осі координат проходять через початкові точки (каспи) астроїди (рис.), та є її осями симетрії; центр астроїди (центр нерухомого кола) знаходиться в початку координат .

Рівняння астроїди в декартовій системі координат в параметричному виді:

При цьому початкова точка астроїди, її касп, з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі .

Параметр  — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі .

Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі: Asrtoid на сайті Mathcurve .

Рівняння астроїди в полярній системі координат:

де полярний кут для астроїди має вигляд:

де  — радіус кривини астроїди в певній точці;  — довжина дуги астроїди від її початку до цієї точки.

Це рівняння виражає наступну властивість астроїди:Якщо дуга астроїди котиться без ковзання по прямій , то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої , через яку прокочується вершина астроїди; одна з напівосей збігається з прямою і по довжині дорівнює половині арки астроїди, а саме: .

Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: .

Метричні характеристики Довжина дуги астроїди між точками, що відповідають параметру

Зокрема, довжина дуги однієї повної арки астроїди дорівнює:

а довжина всієї астроїди:

Площа сектора, що обмежений однією аркою астроїди та координатними осями, дорівнює

а фігури, що обмежена повною астроїдою:

.

Площа поверхні тіла обертання, утвореного при обертанні астроїди навколо будь-якої координатної осі:

Об'єм тіла обертання, утвореного при обертанні астроїди навколо будь-якої координатної осі:

Кривина астроїди в деякій її точці , що відповідає параметру :

а радіус кривини в цій точці:

В точках звороту астроїди радіус кривини дорівнює В вершинах астроїди радіус кривини дорівнює

Центр мас Координати центра мас частин астроїди Інтервал Периметр кривої 0 ≤ t ≤ 0 ≤ t ≤ 0 Плоска фігура 0 ≤ t ≤ 0 ≤ t ≤ 0 Тіло обертання навколо осі Х 0 ≤ t ≤ 0

Властивості та особливості форми Астроїда є плоскою алгебричною кривою шостого порядку роду 0.Astroid на сайті people.math.carleton.ca Крива має 4 осі симетрії, дві з яких проходять через протилежні вершини, а інші дві — через протилежні каспи астроїди. Крива має центр симетрії. Астроїда має чотири сингулярні точки на дійсній площині (точки звороту); також астроїда має дві комплексні сингулярні точки звороту на нескінченності, та чотири комплексні сингулярні вузлові (подвійні) точки. Загалом астроїда має 10 сингулярних точок.

Дотична до астроїди в довільній її точці Р утворює в перетині з осями координат відрізок АВ сталої довжини а. Астроїда є обвідною сімейства відрізків однакової довжини, кінці яких закріплені на двох взаємно-перпендикулярних прямих. Астроїда є обвідною сімейства коаксіальних (співвісних) еліпсів, для яких сума малої та великої півосей є сталою.

Подерою астроїди відносно її центра є чотирипелюсткова троянда. Для астроїди , де  — кут повороту твірного (рухомого) кола;  — радіус напрямного (нерухомого) кола. рівняння подери відносно її центру (початку координат) буде:

або

Ця троянда є вписаною в коло, яке вписане в астроїду. Вершини троянди збігаються з вершинами астроїди.

Астроїда (як і будь-яка гіпоциклоїда) та її еволюта подібні.Hypocycloid Evolute — from Wolfram MathWorld

Відношення подібності складає тобто еволюта астроїди вдвічі більша за неї.

Еволюта має той же центр, що і початкова астроїда. Каспи початкової кривої збігаються з вершинами її еволюти. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану астроїду на кут , а потім відповідно маштабувавши її.

Для астроїди рівняння її еволюти:

Еволютою еліпса є крива, що є узагальненням астроїди — подовжена астроїда, рівняння якої:

Вилучивши параметр , отримаємо рівняння еволюти еліпса в неявному виді:

Двоїстою кривою астроїди є хрестоподібна крива з рівнянням:

Примітки

Література

Посилання

Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Astroid на сайті MacTutor (англ.) Ferréol Robert , ASTROÏDE, на сайті MATHCURVE.COM, 2006 Xah Lee. Astroid