Тест другої часткової похідної — метод використовуваний для визначення чи є критична точка функції максимумом, мінімумом чи сідловою точкою.
Тест Функція від двох змінних
Припустимо, що f(x, y) — диференційовна дійснозначима функція двох змінних чиї часткові похідні існують. Матриця Гессе H для f це 2 × 2 матриця часткових похідних f:
.
Нехай D(x, y) буде її визначником:
.
Насамкінець, припустимо що (a, b) це критична точка f (тобто, fx(a, b) = fy(a, b) = 0). Тоді тест другої часткової похідної стверджує таке:, p. 803.
Якщо і тоді є локальним мінімумом f. Якщо і тоді є локальним максимумом f. Якщо тоді є сідловою точкою f. Якщо тоді тест другої похідної не є достатним, і точка (a, b) може бути мінімумом, максимумом або сідловою точкою.
Обґрунтування
Скористаємось розкладенням у ряд Тейлора:
У критичній точці
Очевидно, що ми уникаємо точки інакше це не спрацює. Тепер введемо заміну маємо
Оскільки знак повністю визначає знак
Допоміжна лема Розглянемо квадратичну функцію Якщо і або тоді для всіх Якщо і або тоді для всіх Якщо тоді існують значення такі, що і такі, що
У виродженому випадку потрібен додатковий тест за допомогою вищих похідних.
Заувага, глобальний мінімум чи максимум функції не завжди є у критичній точці. Слід перевірити границі й нескінченність.
Доведення: Нехай Якщо тоді що означає, що для деякого З іншого боку, якщо тоді отже знов, ми знаємо, що існує коли Якщо і набуває від'ємних значень, то виходить, що мусить десь обертатись у нуль. Ми можемо знайти коріні квадратного рівняння, тобто значення де це значить, що тому значення , отримані з цієї формули, не є дійсними (бо містять ненульову уявну частину). Це означає, що ніколи не обертається на нуль для будь-якого отже ніколи не перетинає вісь тому Цей випадок майже ідентичний попередньому. Якщо то перетинає вісь двічі, тобто вона має як додатні так і від'ємні значення.
Примітки
Див. також Тест другої похідної
Посилання
Доведення тесту