Розв'язник вправ по дискретній математиці/Множини (3n+1)(3n-1)

Розв'язання вправ 1. Нехай перерахуванням задана множина Як її можна описати по іншому? За допомогою предикатів.

За допомогою генеруючої процедури. а) an=2n, n=1..49. б) ai=ai-1+2, a0=2, ai≤98. в) ai=ai-1-2, a0=98, ai>0

2. Як можна описати множину простих чисел до 100? За допомогою перерахування елементів.

За допомогою предикатів.

3. Як можна описати абетку - множину букв? За допомогою перерахування елементів. M ={А,Б,В,Г,Ґ,Д,Е,Є,Ж,З,И,І,Ї,Й,К,Л,М,Н,О,П,Р,С,Т,У,Ф,Х,Ц,Ч,Ш,Щ,Ь,Ю,Я}. За допомогою якого предикату у програмі можна перевірити, що символ є буквою?

4. U = {натуральні числа}; A = {2, 4, 6, 8, 10}; B = {1, 3, 6, 7, 8}. Яке з нижче приведених тверджень буде істинним або хибним?

(a) 2 ∈ A (б) 11 ∈ B (в) 4 ∉ B (г) A ∈ U (ґ) A = {парні числа} Відповідь: (a) Істинне (б) Хибне (в) Істинне (г) Хибне; А є підмножиною U (ґ) Хибне; Умова на {парність} означає, що множина складається з усіх парних чисел, не тільки між 2 та 10

5. Істинне або хибне? (a) ø = {0} (б) x ∈ { x } (в) ø = { ø } (г) ø ∈ { ø } Відповідь: (a) Хибне (б) Істинне (в) Хибне (г) Істинне

6. Нижче приведені множини були визначені за допомогою |позначення.Переписати їх,перерахувавши деякі з елементів. (а){p | p-це столиця, p знаходиться у Європі} (б){x | x=2n-5,x та nнатуральні числа} (в){y | 2y2=50,yнатуральне число } (г){z | 3z = n2, z та n натуральні числа} Відповідь:Приклади можуть включати в себе (a){Лонодон,Париж,Рим, …} (б){1,3,5,7, …}, але не –3 чи –1 (в){5,-5} (г){3,27,243, …} 7. U = R; A = {4, √2, 2/3, -2.5, -5, 33, √9, π} Використовуючи {...} набір позначень, написати такі множини: (а)натуральні числа в A. (б)цілі числа в А. (в)раціональні числа в A. (г)ірраціональні числа в A. Відповідь: (a) {4, 33, √9}. (б) {4, -5, 33, √9}. (в) {4, 2/3, -2.5, -5, 33, √9}. (г) {√2, π}. 8.Чи є кожен з нижче наведених варіантів чітко визначеною множиною (a)Сукупність усіх буквено-цифрових символів. (б)Сукупність усіх високих людей. (в)Сукупність всіх дійсних чисел х, для яких: 2x - 9 = 16. (г)Сукупність всіх цілих чисел х,для яких: 2x - 9 = 16. (ґ)Сукупність усіх хороших тенісистів. Відповідь: (a)Так; буквено-цифрові символи А ... Я, а ... я та 0 ... 9. (б)Ні; 'високий' не є чітко визначена характеристика. (в)Так; множина є {12.5}. (г)Так; порожня множина. (ґ)Ні; «хороших" не чітко визначена харектеристика. 9. In A? In B? In C? Region Y Y Y Y Y N Y N Y Y N N N Y Y N Y N N N Y N N N Скопіювати таблицю істинності,що знаходиться з правого боку, і писати в кінці кожного рядка з номером відповідної області на рис. 4 Venn Diagrams.Діаграми Венна. Відповідь:нижче приведена таблиця.

In A? In B? In C? Region Y Y Y vi Y Y N iii Y N Y v Y N N ii N Y Y vii N Y N iv N N Y viii N N N i

10.{Якщо U = {букви алфавіту}, A = {a, a, a, b, b, a, c}, B = {c, b, a, c} and C = {a, b, c}, що можна сказати про A, B та C? Відповідь:Вони всі рівні. 11.U = {натуральні числа}; A = {2, 4, 6, 8, 10}; B = {1, 3, 6, 7, 8} .Чи є кожен з нижче приведених варіантів істиним або хибним? (a) A ⊂ U (б) B ⊆ A (в) ø ⊂ U Відповідь: (a) Істине (б) Хибне (в) Істине 12.U = {a, b, c, d, e, f, g, h}; P = {c, f}; Q = {a, c, d, e, f, h}; R = {c, d, h} (a)Намалюйте діаграму Венна,показвши ці множини з усіма елементами,які знаходяться у відповідних регіонах.При необхідності,перемалювати діаграму,щоб усунути будь-які порожні області. (б)Які з множин Р, Q і R є власними підмножинами інших? Запишіть свою відповідь(і) за допомогою символу ⊂ . (в)Р і R непересічні множини. Правда або неправда? Відповідь:

(a) :(a) Діаграма (б)P ⊂ Q; R ⊂ Q (в)Неправда 13. Намалювати діаграми Венна, які показують універсальну множину,U,множини А і В,та один елемент х в кожному з таких випадків: (а) х ∈ А; A ⊂ B (б) х ∈ А; А і Б не перетинаються (в) х ∈ А; х ∉ B; У ⊂ A (г) х ∈ А; х ∈ B; А не є підмножиною B; В не є підмножиною A Відповідь: (а)Діаграма 1 (б)Діаграма 2 (в)Діаграма 3 (г)Діаграма 4 14. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {1, 3, 6, 7, 8} C = {3, 7} (a)Намалювати множини U, A, В і С на діаграмі Венна, помічаючи усі елементи у відповідних місцях. (Примітка: якщо якийсь регіон на діаграмі не містить якихось елементів, перемалювати набір петель, щоб виправити це.) (б)Використати діаграми Венна, для наступних множин:A ∩ B, A ∪ C, A′, B′, B ∩ A′, B ∩ C′, A – B, A Δ B (г)Закінчить вираз ,використовуючи один символ: C - B = ... . Відповідь: (a)Діаграма а (б):A ∩ B = {6,8} A ∪ C = {2,3,4,6,7,8,10} A′ = {1,3,5,7,9} B′ = {2,4,5,9,10} B ∩ A′ = {1, 3, 7} B ∩ C′ = {1,6,8} A – B = {2,4,10} A Δ B = {1,2,3,4,7,10} (в)C - B = ø