В математиці, матриця Коші (названа в честь Огюстена Луї Коші) — це m×n-матриця з елементами вигляду:
де та є елементами поля , а послідовності та таких елементів є ін'єкційними (не містять повторюваних елементів).
Матриця Гільберта є окремим випадком матриці Коші при
Кожна підматриця (матриця, яка виходить в результаті викреслювання певного рядка і стовпця) матриці Коші також є матрицею Коші.
Визначники Коші
Визначник квадратної матриці Коші є раціональної функцією параметрів та . Якщо ці послідовності не ін'єктівні, то визначник дорівнює нулю. Якщо деякі прямують до , то визначник прямує до нескінченності. Таким чином, частина множин нулів і полюсів визначника Коші заздалегідь відома. Насправді інших нулів і полюсів немає.
Явний вигляд визначника квадратної матриці Коші A, або просто визначник Коші:
(Schechter 1959, eqn 4).
Він завжди не дорівнює нулю, таким чином, матриці Коші є оборотними. Обернена матриця A−1 =B= [bij] має вигляд: (Schechter 1959, Theorem 1) де Ai(x) и Bi(x) — многочлени Лагранжа для послідовностей і , відповідно. Тобто і де і
Узагальнення Матриця C називається матрицею типу Коші, якщо вона має вигляд
Позначивши X=diag(xi), Y=diag(yi), отримаємо, що матриці типу Коші (зокрема, просто матриці Коші) задовольняють зміщеному рівнянню:
(в разі матриць Коші ). Відповідно матриці типу Коші мають загальну зміщену структуру, що може бути використано при роботі з такими матрицями. Наприклад, відомі алгоритми для наближеного множення матриці Коші на вектор за операцій, LU-розкладання за операцій (алгоритм GKO), і відповідний алгоритм рішення систем лінійних рівнянь з такими матрицями, нестійкі алгоритми для вирішення систем лінійних рівнянь за операцій. Через позначений розмір матриці (зазвичай мають справу з квадратними матрицями, хоча всі вищенаведені алгоритми легко можуть бути узагальнені на прямокутні матриці).
Див. також Матриці Тепліца
Джерела