Алгебричні системи У елементарній алгебрі розглядаються різні конкретні множини: множина цілих, раціональних, дійсних й комплексних чисел, множина поліномів, дробово-раціональних функцій тощо. Над елементами цих множин виконуються операції, які називаються алгебричними. Загальне визначення алгебричної операції можна сформулювати наступним чином. Нехай - множина. Говорять, що у визначена алгебрична операція, якщо вказаний закон, за яким будь-яким двом (різним або однаковим) елементам та цієї множини, взятим у певному порядку, ставиться у відповідність цілком визначений елемент цієї ж множини У цьому формулюванні містяться вимоги щодо однозначності операції та її виконуваності для будь-яких двох елементів даної множини. Тут міститься також вказівка на порядок, у якому беруться елементи та множини при виконанні над ними операції. Це значить, що елементам та можуть бути поставлені у відповідність різні елементи цієї множини Таким чином, алгебрична операція, визначена у множині може бути некомутативною.
На думку відомого американського математика Майкла Атії, що для будь-якої алгебричної системи необхідне виконання послідовних операцій (додавання, віднімання тощо) та що ці операції сприймаються як виконувані одна за іншою. Іншими словами, алгебрі необхідний час, щоб надати їй змісту, що визначає її метафізичність (грец. Τά μετά τά φυσικά - "те, що понад фізикою"). У царині фізики геометрія займається дослідженням простору, алгебра досліджує час, а математичний аналіз - континуум.
Алгебричну операцію, визначену у множині можна назвати додаванням, і тоді називають сумою елементів та символічно записуючи її можна назвати й добутком елементів та символічно Операції додавання й віднімання виконуються у багатьох числових множинах, що розглядаються у елементарній алгебрі. Вони також алгебричні, однак їх не варто вважати новими незалежними діями, оскільки вони можуть бути визначені через операції додавання й множення. Наприклад, ми говоримо, що у множині (у якій вже визначена операція додавання) виконується операція віднімання, якщо для будь-якої пари цієї множини існує у цій множині єдиний елемент такий, що Елемент називається різницею елементів та формально Таким самим чином, у множині (у якій вже визначена операція множення) виконується операція ділення, якщо для будь-яких двох елементів та цієї множини існує єдиний елемент такий, що Елемент називається часткою елементів та й позначається або
Таким чином, операції віднімання й ділення визначаються посередництвом операцій додавання й віднімання. Операції віднімання й діленя називаються зворотними (оберненими) операціями відповідно додавання й множення.
Піднесення до цілого степеня й взяття кореня - алгебричні операції, які також можуть бути визначеними через уведені раніше. Тобто піднесення до цілого додатного степеня зводиться до добутку а операція взяття кореня степені з чисел є зворотною до операції піднесення до степеня.
З визначення числових систем зрозуміло, що є множини, у яких додавання й множення визначені, а віднімання і ділення - ні. Такою є, наприклад, множина натуральних чисел. У множині цілих чисел (додатних й від'ємних) визначена операція додавання і виконується зворотна до неї операція - операція віднімання. У множині відмінних від нуля раціональних чисел визначена операція множення й виконується зворотна до неї операція - операція ділення.
Найпростішою алгебричною (екваціональною) системою є структура, яка є моделлю системи аксіом-рівностей, наприклад, як у теорії груп:
для усіх системи Такі моделі будуть розглянуті у підрозділі, присвяченому основним поняттям теорії категорій.
Кільце Непуста множина називається кільцем, якщо у ній визначені операції додавання й множення, які підпорядковуються наступним законам: комутативність операції додаваня: асоціативність операції додавання: для операції додавання у множині виконується зворотна до неї операція - віднімання операція множення асоціативна, тобто для справджується рівність множення дистрибутивне відносно додавання:
Кільце називається комутативним, якщо операція множення комутативна, тобто якщо для усіх
Прикладами кілець є множина цілих чисел, множина парних чисел, множина раціональних чисел, множина поліномів.
У будь-якому кільці міститься єдиний елемент такий, що сума будь-якого іншого елемента із дає у сумі знову тобто Елемент називається нулем кільця. Крім того, для будь-якого елемента кільця у кільці існує елемент такий, що Елемент називається протилежним елементу
Ідемпотент у кільці - це елемент, який задовільняє співвідношенню Булеве кільце (комутативне кільце із одиницею) є кільцем, у якому будь-який елемент є ідемпотентом. У булевому кільці виконується співвідношення для будь-якого Справді,
У цільці із одиницею для елемента може існувати зворотний до нього елемент із властивістю Елементи кільця із одиницею, для яких у цьому кільці існує зворотний елемент, називається кільцем дільника одиниці. Зокрема, у кільці усіх квадратних матриць порядку тобто одиницею є одинична матриця для якої Зворотний елемент існує для будь-якої невиродженої матриці; для вироджених матриць зворотних до них елементів не існує.
Ізоморфізми та гомоморфізми кілець Кільця та називають ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність таку, що якщо елементам відповідають елементи то елементові відповідає елемент та елементові відповідає елемент
Кільце є гомоморфно відображеним у кільце якщо кожному елементові кільця ставиться у відповідність однозначно визначений елемент кільця причому якщо елементам відповідають елементи то елементові відповідає а елементові відповідає елемент У випадку, якщо кожний елемент кільця має хоча б один образ у то говорять про гомоморфне відображення кільця на кільце ; гомоморфізм у цьому випадку називають епіморфізмом.
Наприклад, якщо кожному поліномові від однієї змінної із довільними комплексними коефіцієнтами поставити у взаємно однозначну відповідність вільний член цього полінома, то одержимо гомоморфне відображення кільця усіх поліномів із комплексними коефіцієнтами на систему комплексних чисел
Якщо кільце гомоморфно (ізоморфно) відображене на кільце причому кільце є асоціативним, то тоді й кільце є асоціативним; якщо кільце є комутативним, то й є комутативним; якщо кільце із одиницею, то й у цьому випадку буде також кільцем із одиницею, причому одиницею кільця буде образ одиниці кільця
У випадку, якщо кільце може бути гомоморфно (ізоморфно) відображене на декотру множину на якій визначені дві алгебричні операції, то множина сама є кільцем відносно цих двох операцій.
Якщо кільце гомоморфно відображене у кільце то множина усіх елементів які переходять у нульовий елемент називається ядром цього гомоморфізму.
Поле Комутативне кільця, що містить принаймні один відмінний від нуля елемент, у якому виконується операція ділення, окрім ділення на нуль, називається полем. Прикладами полів є множина раціональних чисел, множина дійсних чисел, множина комплексних чисел, множина дробово-раціональних функцій. Алгебрична геометрія у значній мірі базується на комутативній алгебрі, яка вивчає комутативні кільця й поля.
У будь-якому полі існує єдиний елемент (одиниця поля) такий, що для будь-якого елемента даного поля Крім того, для будь-якого елемента даного поля існує єдиний зворотний елемент такий, що
Таким чином, у будь-якому полі добуток двох елементів дорівнює нулю лише тоді, коли принаймні один з співмножників дорівнює нулю.
Впорядковане поле. У впорядкованих полях визначене відношення порядку, яке доцільно пов'язане із алгебричними операціями, визначеними у полі. Впорядковане поле можна визначити наступним чином. Поле називається впорядкованим, якщо для його елементів визначене відношення порядку (" менше ") із наступними властивостями: для будь-яких елементів поля співвідношення є взаємовиключними (тобто не можуть бути справедливими одночасно) якщо та то якщо то для будь-якого якщо та то
Останні дві властивості пов'язують відношення порядку із операціями, визначеними у полі. Передостання властивість називається законом монотонності додавання, а остання - законом монотонності множення.
Якщо то говорять, що більше від формльно Визначене таким чином відношення у впорядкованому полі має наступні властивості: для будь-яких елементів та поля справедливе лише одне із співвідношень: чи чи якщо та то справді, з та слідує та тому й та якщо то для будь-якого якщо та то
До основи визначення впорядкованого поля можна також покласти й визначити впорядковане поле наступним чином: поле є впорядкованим, якщо для його елементів встановлене відношення (" більше "), яке задовільняє чотирьом наведеним його властивостям. Таким чином, поле, впорядковане відношенням може бути впорядковане й зворотним відношенням
Елемент впорядкованого поля називається додатним, якщо він більший від нуля, його називають від'ємним, якщо він менший від нуля
Елемент впорядкованого поля лише тоді більший від елемента коли Справді, якщо то тобто І навпаки, якщо то тобто
З визначення впорядкованого поля слідують усі основні властивості нерівностей. Інакше кажучи, на властивостях, про які йде мова у визначенні впорядкованого поля, базується доказ основних властивостей нерівностей. Відтак теорію нерівностей можна побудувати лише у впорядкованих полях. Серед числових полів впорядкованими є поле раціональних й поле дійсних чисел. Поле ж комплексних чисел не може бути впорядкованим. Переконаймося у цьому. З визначення впорядкованого поля слідують наступні властивості: a) якщо та то b) у впорядкованому полі елементи й не можуть бути обидва додатними або обидва від'ємними; справді, якщо вважати та то в силу властивості (a) маємо якщо ж вважати, що та то в силу цієї ж властивості (b) маємо але тому кожне із припущень приводить до суперечливості; c) якщо та то справді, тобто d) якщо то справді, якщо то в силу властивості (c) маємо якщо ж то в силу властивості (b) маємо та, відповідно, e) сума квадратів будь-яких відмінних від елементів впорядкованого поля є додатною; справді, якщо кожний із елементів є відмінним від нуля, то в силу властивості (d) маємо відтак в силу властивості (a) маємо
З властвості (e) слідує, що поле комплексних чисел не може бути впорядкованим; справді, у цьому полі є числа та сума квадратів яких дорівнює нулю ( та сума ), чого в силу властивості (e) у впорядкованому полі бути не може.
Нормування полів Нормування поля називається архімедовим, якщо функція нормування задовільняє наступним умовам: причому лише у випадку, якщо ;
За неархімедового нормування остання умова замінюється на більш сильну: