Основи математики — це дослідження філософських і логічнихJoachim Lambek (2007), «Foundations of mathematics», Encyc. Britannica і/або алгоритмічних основ математики або, у ширшому сенсі, математичне дослідження того, що лежить в основі філософських теорій щодо природи математики.Leon Horsten (2007, rev. 2012), «Philosophy of Mathematics» SEP У цьому останньому сенсі різниця між основами математики та філософією математики виявляється розпливчастою. Основи математики можна розуміти як вивчення основних математичних понять (множина, функція, геометрична фігура, число тощо) і того, як вони утворюють ієрархії більш складних структур і понять, особливо фундаментально важливих структур, які утворюють мову математики (формули, теорії та їхні моделі, що надають значення формулам, визначенням, доведенням, алгоритмам тощо), які також називаються метаматематичними концепціями, з огляду на філософські аспекти та єдність математики. Пошук основ математики є центральним питанням філософії математики; абстрактна природа математичних об'єктів створює особливі філософські проблеми.
Основи математики в цілому не мають на меті вмістити основи кожної математичної тематики. Загалом, основи певної галузі знань стосуються більш-менш систематичного аналізу її найосновніших або фундаментальних концепцій, її концептуальної єдності та її природного порядку або ієрархії концепцій, що може допомогти пов'язати її з рештою людських знань. Розвиток, емерджентність та уточнення основ можуть з'являтися пізніше в історії галузі та можуть не сприйматися всіма як найцікавіша її частина.
Математика відіграє особливу роль у науковій думці, слугуючи з давніх часів моделлю істини та строгості для раціонального дослідження, а також даючи інструменти чи навіть основу для інших наук (особливо фізики). Численні розробки математики в напрямку вищих абстракцій у XIX столітті принесли нові виклики та парадокси, спонукаючи до глибшого та більш систематичного дослідження природи та критеріїв математичної істини, а також до об'єднання різноманітних галузей математики в єдине ціле.
Систематичні дослідження основ математики розпочалися наприкінці XIX століття і сформували нову математичну дисципліну під назвою математична логіка, яка пізніше мала тісні зв'язки з теоретичною інформатикою. Дослідження пройшли через низку криз із парадоксальними результатами, поки відкриття не стабілізувалися протягом XX століття як великий і узгоджений масив математичних знань з кількома аспектами або компонентами (теорія множин, теорія моделей, теорія доведення тощо), чиї детальні властивості і можливі варіанти все ще є активним полем досліджень. Високий рівень технічної складності цих досліджень надихнув багатьох філософів на припущення, що він може слугувати моделлю чи зразком для досліджень основ інших наук. Ключовим питанням усієї проблеми обґрунтування математики є питання надійності математичного доведення. Якщо припустити, що всі доведення певною мірою ненадійні, то проблема обґрунтування математики, принаймні як проблема внутрішньоматематична, втрачає сенс, бо обґрунтуванняматематичної теорії має бути результатом безумовно надійного доведення.
Історичний контекст
Давньогрецька математика
Хоча практика математики раніше розвивалася в інших цивілізаціях, особливий інтерес до її теоретичних та фундаментальних аспектів був чітко очевидним у роботах стародавніх греків.
Ранні грецькі філософи сперечалися щодо того, що є більш базовим — арифметика чи геометрія. Зенон Елейський (490 рв. 430 до н. е.) сформулював чотири парадокси, які, здається, демонструють неможливість змін. Математична школа Піфагора спочатку наполягала на тому, що існують лише натуральні та раціональні числа. Відкриття ірраціональності , відношення діагоналі квадрата до його сторони (приблизно у V ст. до н. е.), було для них шоком, який вони прийняли неохоче. Розбіжність між раціональними та реальними числами була остаточно усунена Евдоксом Кнідським (408—355 рр.). до н. е.), учнем Платона, який звів порівняння двох ірраціональних співвідношень до порівнянь кратних величин. Його метод передбачив переріз Дедекінда в сучасному визначенні дійсних чисел Річардом Дедекіндом (1831—1916).
У Постеріорній аналітиці Аристотель (384—322 до н. е.) заклав аксіоматичний метод логічної організації галузі знання за допомогою примітивних понять, аксіом, постулатів, визначень і теорем. Аристотель взяв для цього більшість своїх прикладів з арифметики та геометрії. Цей метод досяг свого найвищого рівня в Началах Евкліда (300 р до н. е.), трактаті з математики, структурованому з дуже високими стандартами строгості: Евклід обґрунтовує кожне положення демонстрацією у формі ланцюжків силогізмів (хоча вони не завжди строго відповідають аристотелівським шаблонам). Силогістична логіка Аристотеля разом з аксіоматичним методом, прикладом якого є Елементи Евкліда, визнані науковими досягненнями Стародавньої Греції.
Платонізм як філософія математики Починаючи з кінця XIX століття серед математиків-практиків поширюється платонічний погляд на математику.
Поняття або, як сказали б платоніки, об'єкти математики абстрактні й далекі від повсякденного досвіду сприйняття: геометричні фігури сприймаються як ідеальні речі, які слід відрізняти від ефективних малюнків і форм об'єктів, а числа не плутають із підрахунком конкретних об'єктів. Їх існування та природа представляють особливі філософські виклики: чим математичні об'єкти відрізняються від їх конкретного представлення? Чи знаходяться вони в їхньому представленні, чи в нашій свідомості, чи десь ще? Як ми можемо їх знати?
Давньогрецькі філософи дуже серйозно ставилися до таких питань. Дійсно, багато з їхніх загальних філософських дискусій проводилися з широким посиланням на геометрію та арифметику. Платон (424/423 до н. е.348/347 до н. е.) наполягав на тому, що математичні об'єкти, як і інші платонічні ідеї (форми чи сутності), повинні бути ідеально абстрактними та мати окремий, нематеріальний вид існування у світі математичних об'єктів, незалежних від людей. Він вважав, що істини про ці об'єкти також існують незалежно від людського розуму, але відкриваються людьми. У Меноні вчитель Платона Сократ стверджує, що можна пізнати цю істину за допомогою процесу, подібного до відновлення пам'яті.
Над воротами в академію Платона був відомий напис: «Нехай сюди не входить той, хто не знає геометрії». Таким чином Платон відзначив свою високу думку про геометрію. Він вважав геометрію «першим необхідним у навчанні філософів» завдяки її абстрактному характеру.
Цю філософію платоністського математичного реалізму поділяють багато математиків. Деякі автори стверджують, що платонізм якимось чином виникає як необхідне припущення, яке лежить в основі будь-якої математичної роботиKarlis Podnieks, Platonism, intuition and the nature of mathematics: 1. Platonism — the Philosophy of Working Mathematicians.
З цієї точки зору закони природи та закони математики мають подібний статус, і перестає бути необґрунтованою. Основу становлять не наші аксіоми, а цілком реальний світ математичних об'єктів.
Арістотель розкрив і відкинув цю точку зору у своїй «Метафізиці». Ці питання є джерелом для філософського аналізу та дебатів.
Арістотелівський реалізм
Середньовіччя і Відродження Понад 2000 років «Елементи» Евкліда були абсолютно міцною основою для математики, оскільки їх методологія раціонального дослідження керувала математиками, філософами та вченими навіть у XIX столітті.
У середні віки точилася суперечка про онтологічний статус універсалій (платонічних ідей): реалізм стверджував їх існування незалежно від сприйняття; концептуалізм стверджував їх існування лише в розумі; номіналізм заперечував те й інше, розглядаючи універсалії лише як назви сукупностей окремих об'єктів (слідуючи за давнішими припущеннями, що вони є словами, «logoi»).
Рене Декарт опублікував Геометрію (1637), спрямовану на зведення геометрії до алгебри за допомогою систем координат, надаючи алгебрі більш основоположну роль (у той час як греки використовували довжини для визначення чисел, які зараз називають дійсними числами). Книга Декарта стала відомою після 1649 року і приготувала шлях до числення нескінченно малих.
Ісаак Ньютон (1642—1727) в Англії та Лейбніц (1646—1716) у Німеччині незалежно один від одного розробили числення нескінченно малих на підґрунті, яке потребувала нових основ. Зокрема, Лейбніц описав нескінченно малі числа як числа, нескінченно близькі до нуля, концепція, яка не вписується в попередні фундаментальні рамки математики, і не була формалізована до XX століття. Сильний вплив обчислення нескінченно малих величин на основи математики проілюстровано в памфлеті протестантського філософа Джорджа Берклі (1685—1753), який писавThe Analyst, A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician:[Нескінченно малі величини] не є ані скінченними величинами, ані нескінченно малими величинами, ані навіть нічим. Чи можемо ми не називати їх привидами померлих кількостей?Лейбніц також працював над логікою, але більшість його праць залишалися неопублікованими до 1903 року.
Тоді математика дуже швидко й успішно розвивалася у фізичних задачах.
XIX століття У XIX столітті математика ставала все більш абстрактною. Занепокоєння логічними прогалинами та невідповідностями в різних сферах призвело до розробки аксіоматичних систем.
Аналіз функцій дійсної змінної Огюстен-Луї Коші (1789—1857) розпочав проєкт формулювання та доведення теорем обчислення нескінченно малих строгим чином, відкидаючи евристичний принцип загальності алгебри, який використовувався попередніми авторами. У своїй праці Cours d'Analyse 1821 року він визначає нескінченно малі величини в термінах спадних послідовностей, які сходяться до 0, які він потім використав для визначення неперервності. Але він не формалізував своє поняття конвергенції.
Сучасне (ε, δ)-визначення границі і неперервності функцій було вперше розроблено Больцано в 1817 році, але залишалося відносно невідомим. Це дає точну основу числення нескінченно малих, засноване на множині дійсних чисел, можливо, розв'язуючи парадокси Зенона та аргументи Берклі.
Математики, зокрема Карл Веерштрасс (1815—1897), відкрили такі патологічні функції, як безперервні, ніде не диференційовані функції. Попередні концепції функції як правила для обчислень або гладкого графіка вже не були адекватними. Веєрштрасс почав виступати за арифметизацію аналізу, за аксіоматизацію аналізу з використанням властивостей натуральних чисел.
У 1858 році Дедекінд запропонував визначення дійсних чисел як розрізів раціональних чисел. Ця редукція дійсних чисел і неперервних функцій у термінах раціональних чисел, а отже, і натуральних чисел, була пізніше інтегрована Кантором у його теорію множин і аксіоматизована в термінах Гільбертом і Бернайсом.
Теорія груп У XIX столітті вперше були досліджені обмеження математики. Нільс Генрік Абель (1802—1829), норвежець, і Еварист Галуа (1811—1832), француз, досліджували розв'язки різноманітних поліноміальних рівнянь і довели, що не існує загального алгебраїчного розв'язку рівнянь степеня, більшого за чотири (теорема Абеля — Руффіні). За допомогою цих концепцій П'єр Ванцель (1837) довів, що лише лінійкою та циркулем неможливо поділити на три частини довільний кут або подвоїти куб. У 1882 році Ліндеманн, спираючись на роботу Ерміта, показав, що квадратура кола за допомогою лінійки та циркуля (побудова квадрата, рівного за площею заданому колу) також неможлива, довівши, що є трансцендентним числом. З часів стародавніх греків математики марно намагалися вирішити всі ці проблеми.