В електромагнетизмі магнітний диполь — це теоретичний опис достатньо малого магніту, як-от атом або електрон. На достатньо великих відстанях від магніту всі магніти можна описати як магнітні диполі. Сила магнітного диполя визначається однією властивістю — його магнітним дипольним моментом. Модель магнітного диполя точно передбачає багато властивостей малих магнітів, як-от магнітне поле, яке вони створюють, як вони взаємодіють з іншими магнітними диполями та який крутний момент чи результуючу силу чинитиме на диполь зовнішнє магнітне поле.
Для опису магнітного диполя можна використовувати дві різні моделі. Найпростіша для розуміння, але найменш правильна, — це уявити магніт як два рівні, але протилежні полюси, які діють подібно до електричних зарядів. «Ідеальний» магнітний диполь тоді моделюється через зменшення відстані між полюсами за одночасного збільшення сили магнітного полюса так, щоб значення добутку двох (магнітний дипольний момент) залишалося заданим для цього диполя. Такий підхід часто дає змогу отримати правильні результати у зрозумілій формі, але має недоліки: він є неточним (магнітні полюси не існують як окремі об'єкти) і в деяких випадках (наприклад, всередині магніту) дає неправильні результати.
Більш правильний опис магнітного диполя — це замкнений електричний струм, що оточує плоску ділянку . Магнітний момент цього диполя дорівнює добутку його площі та сили струму. Ця модель петлі Ампера має перевагу в тому, що вона фізично коректна, принаймні для тієї частини магнітного поля атома, яка зумовлена рухом електронів навколо ядра атомів.
Оскільки магнітних монополів не існує, магнітне поле на великій відстані від будь-якого статичного магнітного джерела виглядає як поле диполя з тим самим дипольним моментом. Поле джерел вищого порядку (наприклад, квадруполів) без дипольного моменту зменшується до нуля з відстанню швидше, ніж поле диполя.
Моделі Загальноприйняте класичне тлумачення магнітного диполя з часом змінювалося. До 1930-х років підручники пояснювали магнітний диполь, використовуючи гіпотетичні точкові магнітні заряди. Відтоді його здебільшого визначають з погляду струмів Ампера. У магнітних матеріалах причиною магнітного моменту є спінові та орбітальні кутові моменти електронів.
Модель магнітного полюса
Джерела магнітних моментів у матеріалах можна представити полюсами за аналогією з електростатикою. Такий підхід іноді називають моделлю Гільберта.В цій моделі невеликий магніт моделюється парою фіктивних магнітних монополів однакової величини, але протилежної полярності. Кожен полюс є джерелом магнітної сили, яка послаблюється з відстанню. Оскільки магнітні полюси завжди існують парами, їхні сили частково компенсують одна одну, оскільки, коли один полюс притягує, інший відштовхує. Це компенсування найбільше, коли полюси розташовані близько один до одного, тобто коли штабовий магніт короткий. Таким чином, магнітна сила, що створюється штабовим магнітом у заданій точці простору, залежить від двох факторів: сили його полюсів (сили магнітного полюса) та вектора , що розділяє їх. Магнітний дипольний момент пов'язаний із фіктивними полюсами як
Він вказує напрямок від південного до північного полюса. Не варто надто далеко заглиблюватися в аналогію з електричними диполями, оскільки магнітні диполі пов'язані з кутовим моментом. Тим не менш, магнітні полюси корисні для магнітостатичних розрахунків, особливо в застосуваннях до феромагнетиків. За використання підходу магнітних полюсів магнітне поле зазвичай представляють безвихоровим полем , за аналогією з електричним полем .
Модель контуру Ампера
Після того, як Ганс Крістіан Ерстед виявив, що електричні струми створюють магнітне поле, а Андре-Марі Ампер виявив, що електричні струми притягуються та відштовхуються один від одного, подібно до магнітів, природно виникла гіпотеза, що всі магнітні поля зумовлені коловими електричними струмами. В цій моделі, розробленій Ампером, елементарний магнітний диполь, з якого складаються всі магніти, є достатньо малим контуром зі струмом I. Дипольний момент цього контуру дорівнює де — площа контуру. Напрямок магнітного моменту перпендикулярний до площі, обмеженої контуром, і пов'язаний із напрямком струму правилом правої руки.
Локалізовані розподіли струму
Магнітний дипольний момент можна розрахувати для локалізованого (не поширеного до нескінченності) розподілу струму, припускаючи, що нам відомі всі задіяні струми. Зазвичай виведення починають із мультипольного розкладу векторного потенціалу. Це приводить до визначення магнітного дипольного моменту: де — векторний добуток векторів, — вектор положення, — густина електричного струму, а інтегрування виконується за об'ємом. Якщо густину струму в інтегралі замінити плоским контуром зі струмом , що охоплює площу , то стає криволінійним інтегралом, а результуючий дипольний момент стає саме так виводиться магнітний дипольний момент для контуру Ампера.
Практики, які використовують модель контуру зі струмом, зазвичай представляють магнітне поле соленоїдним полем , аналогічним електростатичному полю .
Магнітний момент соленоїда
Узагальненням згаданого вище контуру зі струмом є котушка або соленоїд. Його момент дорівнює векторній сумі моментів окремих витків. Якщо соленоїд має однакових витків (одношарова обмотка) та векторну площу , то
Квантово-механічна модель Під час розрахунку магнітних моментів матеріалів або молекул на мікроскопічному рівні часто зручно застосовувати третю модель магнітного моменту, яка використовує лінійну залежність між кутовим моментом та магнітним моментом частинки. Хоча цю залежність легко розробити для макроскопічних струмів за допомогою моделі контуру Ампера (див. нижче), ні модель магнітного полюса, ні модель контуру Ампера насправді не відображають те, що відбувається на атомному та молекулярному рівнях. На цьому рівні необхідно використовувати квантову механіку. Разом з тим, лінійна залежність між магнітним дипольним моментом частинки та її кутовим моментом все ще зберігається, хоча вона різна для кожної частинки. Крім того, слід розрізняти власний кутовий момент (або спін) частинки та її орбітальний кутовий момент.
Зовнішнє магнітне поле, що створюється магнітним дипольним моментом У класичній фізиці магнітне поле диполя розраховується як границя для контуру зі струмом або пари зарядів, коли джерело стискається до точки, зберігаючи при цьому постійним магнітний момент . Для контуру зі струмом цю границю найлегше вивести з векторного потенціалу:
де μ 0 — магнітна стала, а — площа поверхні сфери радіуса . Тоді густина магнітного потоку (напруженість B-поля) дорівнює
Або ж можна спочатку отримати з границі для магнітного полюса,
а отже, напруженість магнітного поля (або напруженість H-поля) дорівнює
Напруженість магнітного поля симетрична відносно повороту навколо осі магнітного моменту. У сферичних координатах, де , а магнітний момент напрямлений за віссю , напруженість поля можна простіше виразити як
Внутрішнє магнітне поле диполя Дві моделі для диполя (контур зі струмом та магнітні полюси) дають однакові прогнози щодо магнітного поля далеко від джерела. Однак, усередині джерела вони дають різні прогнози. Магнітне поле між полюсами спрямоване протилежно до магнітного моменту (який вказує від негативного заряду до позитивного заряду), тоді як усередині контуру зі струмом воно спрямоване в тому ж напрямку (див. малюнок вище). Очевидно, що границі цих полів також повинні відрізнятися, оскільки джерела зменшуються до нульового розміру. Ця відмінність має значення лише в тому випадку, коли границя диполя використовується для розрахунку полів усередині магнітного матеріалу.
Якщо магнітний диполь утворюється через зменшення контуру зі струмом зі збереженням сталим добутку струму та площі, то граничне поле буде
де — дельта-функція Дірака у трьох вимірах. На відміну від виразів у попередньому розділі, ця границя є коректною для внутрішнього поля диполя.
Якщо магнітний диполь утворюється через взяття «північного полюса» та «південного полюса» з наближенням їх все ближче один до одного та збереженням сталим добутку заряду магнітного полюса та відстані, то граничне поле буде
Ці поля пов'язані між собою співвідношенням , де
– намагніченість.
Сили між двома магнітними диполями Силу з якою дипольний момент діє на інший , віддалений у просторі на вектор , можна обчислити так:
або
де — відстань між диполями. Сила, що діє на має протилежний напрям.
Крутний момент можна отримати за формулою
Диполярні поля від скінченних джерел , який створюється поза скінченним джерелом, можна представити мультипольним розкладом. Кожен член у розкладі пов'язаний з відповідним моментом та потенціалом, що має відповідну швидкість зменшення з відстанню від джерела. Монопольні моменти мають швидкість зменшення , дипольні моменти — , квадрупольні моменти — і так далі. Що вищий порядок, то швидше спадає потенціал. Оскільки членом найнижчого порядку, що спостерігається в магнітних джерелах, є дипольний член, він домінує на великих відстанях. Тому на великих відстанях будь-яке магнітне джерело виглядає як диполь з тим самим магнітним моментом.
Примітки
Джерела