Ква́нтова тео́рія по́ля — область сучасної фізики, що описує основні властивості та процеси взаємодії елементарних частинок, з яких побудовані всі фізичні об'єкти світу. Основні положення цієї теорії були сформульовані в середині ХХ ст. В ній відбулося об'єднання релятивістських уявлень, розвинених Альбертом Ейнштейном у теорії відносності, і квантових ідей, що з'явилися у фізиці з народженням теорії атома, створеної Нільсом Бором, Вернером Гейзенбергом, Ервіном Шредінґером і Полем Діраком в 1920-х роках. В основі квантової теорії поля лежить уявлення про існування елементарних частинок, властивості яких описуються теорією відносності, та які в фізичних процесах, що відбуваються в мікросвіті, народжуються і знищуються як ціле, при цьому величини їхніх фізичних характеристик строго фіксовані, квантовані

У класичній теорії, формування якої в основному завершилося до початку ХХ ст., фізична картина світу складається з двох елементів — частинок і полів. Частинки — маленькі грудочки речовини, що рухаються за законами класичної механіки Ньютона. Кожна з них має 6 ступенів свободи: три з них просторові координати, наприклад , три інші — задають моментальну швидкість або імпульс. Якщо залежність координат від часу відома, то це дає вичерпну інформацію про рух частинки. Опис полів значно складніший. Задати, наприклад, електричне поле — означає визначити його напруження у всіх точках простору. Для опису поля необхідно знати не 3 (як для матеріальної точки), а нескінченно велике число величин у кожен момент часу; інакше кажучи, поле має нескінченне число ступенів свободи. Природно, що і закони динаміки електромагнітного поля, встановлені в основному завдяки дослідженням Майкла Фарадея і Джеймса Клерка Максвела, є складнішими за закони механіки.

Зазначена відмінність між полями і частинками є головною, хоча і не єдиною: частинки — дискретні, а поля — неперервні; електромагнітне поле (електромагнітні хвилі) може народжуватися і поглинатися, в той час як для матеріальних точок класичної механіки виникнення і зникнення невластиве; нарешті, електромагнітні хвилі можуть, накладаючись, посилювати або послаблювати і навіть повністю «гасити» одна одну (Інтерференція хвиль), чого, зрозуміло, не відбувається при накладанні потоків частинок. Хоча частинки і хвилі переплетені між собою складною мережею взаємодій, кожен із цих об'єктів виступає як носій принципово різних індивідуальних рис. Картині світу в класичній теорії притаманні виразні риси двоїстості. Відкриття квантових явищ замінило цю картину іншою, яку можна назвати двоєдиною.

Історія появи

Квантова теорія — не просто ще одна з незліченних нині наук. Це саме та наука, яка стала основою технотронної ери, призвела до перегляду філософії знання, вплинула на політику цілих держав. По праву науку про кванти можна порівняти лише з такими злетами думки, як система Коперника, закони Ньютона, вчення про електрику. Мабуть, без перебільшення можна сказати, що квантова теорія є основою сучасного природознавства і технологічного розвитку цивілізації.

Основне рівняння квантової механіки — рівняння Шредінґера — є релятивістськи неінваріантним, що видно з несиметричного входження у рівняння часу і просторових координат. Нерелятивістське рівняння Шредінґера відповідає класичному зв'язку кінетичної енергії та імпульсу частинки . Релятивістське співвідношення енергії і імпульсу має вигляд . Припускаючи, що оператор імпульсу в релятивістському випадку такий самий, як і в нерелятивістській області, і використовуючи дану формулу для побудови релятивістського гамільтоніана за аналогією, в 1926 році було запропоновано релятивістськи інваріантне рівняння для вільної (безспінової або з нульовим спіном) частинки (рівняння Клейна — Гордона — Фока). Однак, проблема даного рівняння полягає в тому, що хвильову функцію тут складно інтерпретувати як амплітуду ймовірності хоча б тому, що — як можна показати — густина ймовірності не буде позитивно визначеною величиною.

Дещо інший підхід був реалізований в 1928 році Полем Діраком. Дірак намагався отримати диференціальне рівняння першого порядку, яке забезпечувало б рівноправність часової і просторових координат. Оскільки оператор імпульсу пропорційний першій похідній по координатах, то гамільтоніан Дірака повинен бути лінійним щодо оператора імпульсу. З урахуванням того ж релятивістського співвідношення енергії та імпульсу на квадрат цього оператора накладаються обмеження. Відповідно і лінійні коефіцієнти також повинні задовольняти певні обмеження, а саме їхні квадрати мають дорівнювати одиниці і бути взаємно антикомутативні. Таким чином, це точно не можуть бути числові коефіцієнти. Однак, вони можуть бути матрицями, причому розмірності не менше 4, а «хвильова функція» — чотирикомпонентним об'єктом, який отримав назву біспінора. В результаті було отримано рівняння Дірака, в якому фігурують 4 матриці Дірака і чотирикомпонентна «хвильова функція». Формально рівняння Дірака записується у вигляді, аналогічному рівнянню Шредінґера з гамільтоніаном Дірака. Однак дане рівняння, втім як і рівняння Клейна — Гордона, має розв'язки з від'ємними енергіями. Ця обставина стала причиною для передбачення античастинок, що пізніше було підтверджено експериментально (відкриття позитрона). Наявність античастинок є наслідком релятивістського співвідношення між енергією та імпульсом.

Таким чином, перехід до релятивістськи інваріантних рівнянь приводить до нестандартних хвильових функцій і багаточастинної інтерпретації. Водночас до кінця 20-х років було розроблено формалізм квантового опису багаточастинкових систем (зокрема систем зі змінним числом частинок), заснований на операторах народження і знищення частинок. Квантова теорія поля також опирається на ці оператори (виражається через них).

Релятивістські рівняння Клейна-Гордона та Дірака розглядаються у квантовій теорії поля як рівняння для операторних польових функцій. Відповідно вводиться в розгляд «новий» гільбертів простір станів системи квантових полів, на які діють зазначені польові оператори. Тому іноді процедуру квантування полів називають вторинним квантуванням".

Спробуємо спочатку хронологічно представити етапи розвитку квантової теорії, починаючи з моменту її виникнення до наших днів.

Дата народження квантової теорії — це 1900 рік. Макс Планк прийшов до висновку, що енергія осцилятора (механічної системи) — частинки, що коливається біля положення рівноваги — змінюється дискретно. Класична фізика стверджувала, що енергію будь-якої механічної системи (осцилятора) можна змінювати тільки безперервно.

У 1905 році Альберт Ейнштейн висунув гіпотезу світлових квантів і показав, що вона пояснює феномен фотоефекту, незрозумілий з позицій хвильової теорії поширення світла. Він припустив, що світло є набір частинок-квантів з енергією, пропорційною частоті, і масою, рівною нулю. По суті справи він відродив вже забуту всіма корпускулярну теорію світла. Завдяки цій гіпотезі з'явилася можливість перенести ідею Планка про дискретність енергії з механічних систем на електромагнітне поле.

У 1913 році Нільс Бор видав працю «Про будову атомів і молекул». Він поширив ідею про дискретності можливих значень енергії осцилятора на рух електронів в атомі. Їм пояснювалася дискретність спектральних ліній, що випускаються атомами. Енергія такої лінії дорівнювала різниці енергій двох можливих станів електрона. Нільс Бор фактично інтуїтивно сформулював знамениті «правила квантування», відомі як постулати Бора.

У 1923 році Луї де Бройль висунув гіпотезу про універсальність корпускулярно-хвильового дуалізму. З рухом матеріальної частинки пов'язаний хвильовий процес. Електрон проявляє себе і як частинка і як хвиля. Не тільки фотони, але й електрони, і будь-які інші частинки поряд з корпускулярними володіють хвильовими властивостями. В 1927 році була виявлена дифракція електронів, яка підтвердила цю гіпотезу.

У 1926 Ервін Шредінгер отримав рівняння для хвильової функції і застосував його до атома водню. Підтвердилися правила квантування Бора. Були описані хвильові властивості електрона в атомі водню. З'явився спосіб, що дозволяє розраховувати всі явища атомної фізики. Було покладено початок квантової механіки. Макс Борн уточнив, що хвильова функція описує ймовірність знаходження частинки в тій чи іншій точці і є хвилею інформації.

Класичний формалізм теорії поля

Формалізм Лагранжа

У механіці Лагранжа функція Лагранжа є функцією часу і динамічних змінних системи і записується у вигляді суми по всіх матеріальних точок системи. У випадку безперервної системи, яким є поле, сума замінюється просторовим інтегралом від функції щільності Лагранжа — лагранжевій щільності .

де жирним виділені просторові компоненти 4-вектора координат, а нульова компонента — час.

Дія за визначенням є інтеграл по часу від лагранжіану

тобто дія в теорії поля є чотиривимірний інтеграл від лагранжевої щільності по чотиривимірному простору-часу. Тому в теорії поля лагранжіаном називають зазвичай лагранжеву щільність.

Поле описується польовою функцією , яка може бути дійсною або комплексною скалярною (псевдоскалярною), векторною, спінорною чи іншою функцією. У теорії поля передбачається, що лагранжіан залежить тільки від динамічних змінних — від польової функції і її похідних, тобто відсутня явна залежність від координат (явна залежність від координат порушує релятивістську інваріантність). Локальність теорії вимагає, щоб лагранжіан містив скінченну кількість похідних і не містив, наприклад, інтегральних залежностей. Більше того, щоб отримати диференціальні рівняння не вище другого порядку (в цілях відповідності класичній механіці) передбачається, що лагранжіан залежить тільки від польової функції та її перших похідних

.

Принцип найменшої дії (принцип Гамільтона) означає, що реальна зміна стану системи відбувається таким чином, щоб дія була стаціонарним (варіація дії дорівнює нулю). Цей принцип дозволяє отримати польові рівняння руху, рівняння Ейлера-Лагранжа:

Оскільки фізичні властивості системи визначаються дією, в якому лагранжіан є підінтегральним виразом, то цього лагранжіану відповідає єдина дія, але не навпаки. А саме, лагранжіани, що відрізняються один від одного повної 4-дивергенцією деякого 4-вектора фізично еквівалентні.

Лагранжіан системи полів

Лагранжіан системи полів, що не взаємодіють між собою (вільних), є просто сумою лагранжіанів окремих полів. Рівняння руху для системи вільних полів — це сукупність рівнянь руху окремих полів.

Взаємодія полів враховується в лагранжіані додаванням нелінійних доданків. Таким чином, повний лагранжіан системи полів із урахуванням взаємодії є сумою вільних лагранжіанів та лагранжіану взаємодії :

Введення лагранжіану взаємодії призводить до неоднорідності та нелінійності рівнянь руху. Лагранжіани взаємодії зазвичай є поліноміальними функціями (не нижче третього степеня), помноженими на деяку числову сталу — так звану константу зв'язку. Лагранжіан взаємодії може бути пропорційний третьому або четвертому степеню самої польової функції, добутку різних польових функцій (загальний степінь повинен бути не нижче третього).

Формалізм Гамільтона

Від формалізму Лагранжа можна перейти до формалізму Гамільтона аналогічно до того, як здійснюється перехід від механіки Лагранжа до механіки Гамільтона. Польова функція тут виступає як узагальнена (канонічна) координата. Відповідно необхідно визначити також і узагальнений (канонічний) імпульс, пов'язаний з цією координатою стандартною формулою:

Тоді гамільтоніан поля (густина гамільтоніана) дорівнює за визначенням

Рівняння руху у формалізмі Гамільтона мають вигляд:

Динаміка будь-яких величин в рамках формалізму Гамільтона підпорядковується наступним рівнянням:

де фігурними дужками позначено дужки Пуассона. При цьому для самих функцій та виконується наступне:

Співвідношення з участю дужок Пуассона зазвичай і є основою для квантування полів, коли польові функції замінюються відповідними операторами, а дужки Пуассона — на комутатор операторів.

Кванти — переносники взаємодії