Поліміно, або поліоміно () — плоскі геометричні фігури, утворені шляхом з'єднання декількох одноклітинних квадратів по їх сторонам. Це поліформи, сегменти яких є квадратами.

Фігуру поліміно можна розглядати як скінченну зв'язну підмножину нескінченної шахівниці, яку може обійти тураПопулярне визначення поліміно за допомогою шахової тури не є строгим: існують незв'язні підмножини квадратного паркету, які може обійти тура (наприклад, група з чотирьох полів шахової дошки a1, a8, h1, h8 не є тетраміно, хоча тура, що стоїть на одному з цих полів, може за три ходи обійти три інших поля). Більш строгим було б визначення поліміно за допомогою фігури «візир», використовуваної в шахах Тамерлана: візир ходить лише на одну клітку по горизонталі або вертикалі..

Назва поліміно Поліміно (n-міно) носять назву по числу n квадратів, з яких вони складаються: nНазваnНазва1 мономіно 6 гексаміно2 доміно 7 гептаміно3 триміно 8 октаміно4 тетраміно 9 нонаміно або еннеоміно5 пентаміно 10 декаміно

Історія Поліміно використовувалися в рекреаційній математиці принаймні з 1907 року, а відомі були ще в давнину. Багато результатів з фігурами, що містять від 1 до 6 квадратів, були вперше опубліковані в журналі «Fairy Chess Review» в період з 1937 по 1957 р., під назвою «проблеми розсічення» (). Назва «поліміно» або «поліоміно» () було придумано Соломоном Голомбом в 1953 році і потім популяризовано Мартіном Гарднером.

У 1967 році журнал «Наука і життя» опублікував серію статей про пентаміно. Надалі протягом ряду років публікувалися завдання, пов'язані з поліміно та іншими поліморфами.

Узагальнення поліміно

Залежно від того, чи дозволяється перевертання або обертання фігур, відрізняються такі три види поліміно: двосторонні поліміно, або вільні поліміно () — поліміно, які дозволяється повертати і перевертати; односторонні поліміно () — поліміно, які дозволяється повертати в площині, але не дозволяється перевертати; фіксовані поліміно () — поліміно, що недозволено ні повертати, ні перевертати.

Залежно від умов зв'язності сусідніх комірок розрізняються: поліміно — набори квадратів, які може обійти візир; псевдополіміно, або поліплети — набори квадратів, які може обійти король; квазіполіміно — довільні набори квадратів нескінченної шахової дошки.

У наступній таблиці зібрані дані про число фігур поліміно і його узагальнень. Число квазі-n-міно дорівнює 1 при n = 1 і ∞ при n > 1.

n поліміно псевдополімінодвосторонні односторонні фіксовані двосторонні односторонні фіксованівсі з отворами без отворів 1 1 0 1 1 1 1 1 12 1 0 1 1 2 2 2 43 2 0 2 2 6 5 6 204 5 0 5 7 19 22 34 1105 12 0 12 18 63 94 166 6386 35 0 35 60 216 524 991 3 8327 108 1 107 196 760 3 031 5 931 23 5928 369 6 363 704 2 725 18 770 37 196 147 9419 1 285 37 1 248 2 500 9 910 118 133 235 456 940 98210 4 655 195 4 460 9 189 36 446 758 381 1 514 618 6 053 18011 17 073 979 16 094 33 896 135 268 4 915 652 9 826 177 39 299 40812 63 600 4 663 58 937 126 759 505 861 32 149 296 64 284 947 257 105 146

Поліформи

Поліформи — узагальнення поліміно, комірками якого можуть бути будь-які однакові багатокутники або багатогранники. Інакше кажучи, поліформа — плоска фігура або просторове тіло, що складається з декількох з'єднаних копій заданої основної форми.

Плоскі (двовимірні) поліформи включають в себе поліамонди, сформовані з рівносторонніх трикутників; полігекси, сформовані з правильних шестикутників; , що складаються з рівнобедрених прямокутних трикутників, та інші.

Приклади просторових (тривимірних) поліформ: полікуби, що складаються з тривимірних кубів; полірони (), що складаються з ромбододекаедрівCol. Sicherman's Home Page. Polyform Curiosities . Catalogue of Polyrhons .

Поліформи також узагальнюються на випадок більш високих розмірностей (наприклад, сформовані з гіперкубів — полігіперкуби).

Порядок поліміно

Порядок поліміно P — мінімальне число конгруентних копій P, достатнє для того, щоб скласти деякий прямокутник. Для поліміно, з копій яких не можна скласти жодного прямокутника, порядок не визначений. Порядок поліміно P дорівнює 1 тоді і тільки тоді, коли P — прямокутник.

Термін був запропонований в 1968 році Д. А. Клернером. Існує множина поліміно порядка 2; прикладом є так звані L-поліміно.

Поліміно порядку 3 не існує; доказ цього було опубліковано в 1992 році. Будь-яке поліміно, з трьох копій якого можна скласти прямокутник, само є прямокутником і має порядок 1.

Існують також пліміно порядку 4, 10, 18, 24, 28, 50, 76, 92, 312; існує конструкція, що дозволяє отримати поліміно порядку 4s для будь-якого натурального s.

Див. також

Пентаміно Поліамонди Полігекси Поліаболо Кубики сома

Примітки

Література

Посилання Антология Мартина Гарднера Полимино Библиотека по математике Полимино RSDN: Этюды для программистов Количество полимино Michael Reid Polyomino page Andrew Clarke The Poly Pages Polyominoes David Eppstein The Geometry Junkyard Polyominoes Miroslav Vicher Puzzles Pages Kevin L. Gong Polyominoes