Надалі введено позначення Задача Штурма-Ліувілля — ЗШЛ. Розглянемо оператор , перепишемо його у вигляді: та введемо додаткові умови . Надалі будемо вважати, що крім того,
Формулювання ЗШЛВладимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512с.
Знайти значення параметра при яких існують нетривіальні розв'язки задачі ,
такі, що і знайти ці розв'язки. Введемо область визначення оператора : , які задовольняють крайові умови , і такі, що .
Властивості оператора ЗШЛКошляков Н. С. и др. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. — 712с. Якщо довільні функції належать області , то має місце рівність: . Оператор ЗШЛ є самоспряженим, тобто виконується . Оператор ЗШЛ є додатньовизначеним: .
Власні значення та власні функції ЗШЛ Вказані вище значення параметра називається власними значеннями ЗШЛ, а відповідні їм розв'язки — власними функціями цієї задачі.
Основні властивості власних значень і власних функцій ЗШЛ Власні значення ЗШЛ утворюють зліченну множину. Власні функції, які відповідають різним власним значенням, ортогональні між собою з вагою , тобто , де — власні функції. Власні значення ЗШЛ — дійсні та невід'ємні. Власні значення ЗШЛ — прості, тобто одному власному значенню не може відповідати дві і більше лінійно незалежних власних функції. Власні функції ЗШЛ можна вибрати дійсними.
Примітки
Джерела